吉林省长春市十一中学2013-2014学年高二上学期期中考试数学（文）试题

本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），满分150分，测试时间120分钟。

一、选择题（每题5分，共60分）

1．一枚硬币，连掷两次，至少有一次正面朝上的概率为（ ）

A.
B.
C.
D.

2．如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，

在正方形中随机撒一粒芝麻，它落在阴影区域内的概率为
，则阴

影区域的面积为（ ）

A.
B.
C.
D.无法计算

3．已知点
到直线
的距离相等，则实数
等于（ ）

A.
B.
C.1 D.
或

4．过点（2,1）的直线中，被圆
截得弦长最长的直线方程为（ ）

A.
B.

C.
D.

5．已知
若是的充分不必要条件，则实数
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

6．下列命题

①“若
，则
互为相反数”的逆命题；②“若
”的逆否命题；③“若
，则
”的否命题。其中真命题个数为（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

7．椭圆
上两点间最大距离是8，那么
（ ）

A．32 B．16 C．8 D．4

8．过抛物线
的焦点所作直线中，被抛物线截得弦长为8的直线有（ ）

A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 不确定

9．已知
是双曲线
的左、右焦点，直线
过
与左支交与
两点，直线
的倾斜角为，则
的值为（ ）

A. 28 B. 8
C. 20 D. 随大小而改变

10．设定点
,
,动点满足
，则点的轨迹是（ ）

A. 椭圆 B. 椭圆或线段 C. 线段 D. 无法判断

11．椭圆
，为上顶点，为左焦点，为右顶点，且右顶点到直线
的距离为
，则该椭圆的离心率为（ 　　）

A.
B.
C.
D.

12．已知椭圆

和双曲线

有相同的焦点
，
是它们的共同焦距，且它们的离心率互为倒数．是它们在第一象限的交点，当
时，下列结论正确的是（ ）

A.
B.

C.
D.

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程为
，表中丢失一个数据，请你推断出该数数值为______________

零件个数（）

10

20

30

40

50



加工时间（

62



75

81

89



14．根据如图所示的程序框图，

若输出的值为4，则输入的值为______________.

15．已知椭圆

的离心率为
，左，右焦点分别为
，

点G在椭圆上，
，且
的面积

为3，则椭圆的方程为___________________.

16．已知点P是抛物线
上的动点，点P在轴上

射影是
,点
,则
的最小值是___________________.

三、解答题（解答时要写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤）

17．等轴双曲线过
点

（1）求双曲线的标准方程；（5分）

（2）求该双曲线的离心率和焦点坐标.（5分）

18．已知圆
，直线
：
，
。

（1）若直线
过圆
的圆心，求
的值；(5分)

（2）若直线
与圆
交于
两点，且
,求直线
的倾斜角. （7分）

19．某社区为了了解家庭月均用水量（单位：吨），从社区中随机抽查100户，获得每户2013年3月的用水量，并制作了频率分布表和频率分布直方图（如图）．

（1）求频率分布表中
的值，并估计该社区内家庭月用水量少于3吨的频率；（6分）

（2）设
是月用水量为
的家庭代表，
是月用水量为
的家庭代表，若从这五位代表中任选两人参加水价听证会，请列举出所有不同的选法，并求代表
至少有一人被选中的概率．(6分)

分组

频数

频率





5

0.05





8

0.08





22

0.22













20

0.20





12

0.12





















20．动点与两个定点
,
连线的斜率之积为
，点轨迹为C，

（1）求曲线C的方程;（6分）

（2）直线
过
与C交于
两点，且线段
中点是
，求
方程.(6分)

21. 设直线
与抛物线
相交于
两点，且

（1）求
值；（5分）

（2）设
是轴上一点，当
面积等于9时，求点坐标.（7分）

22.已知椭圆
的离心率为
，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切.

（1）求椭圆
的方程；（5分）

（2）若过点
的直线与椭圆
交于
两点，设为椭圆上一点，且满
（
为原点），当
时，求的取值范围. （7分）

长春市十一高中2013-2014学年度高二上学期期中考试

数 学 试 题 答 案 （文）

一、选择题（每题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

C

D

A

B

B

B

B

C

B

C

A



二、填空题（每题5分，共20分）

13. 68 14.－2或1 15.
16.

三、解答题

17.解：

（1）设双曲线方程为
①………………………………（2分）

将
代入①得
…………………………………………………（4分）

∴双曲线的标准方程为
………………………………………（5分）

（2）∵该双曲线是等轴双曲线，∴离心率
………………………（7分）

∵=3，
，焦点在轴上，∴焦点坐标为
，
（10分）

18.解：

（1）将
代入
得－1＋1－
=0，∴
=0（5分）…………………（5分）

（2）∵
，圆半径
，

∴圆心到直线
的距离
∴
（8分）

∴
…………………………………………………（10分）

∵
为直线斜率，∴倾斜角为

19. 解：

（1）由频率分布直方图可得=0.5×0.5=0.25…………………………………（2分）

所以月用水量在
内的频数为100×0.25=25

故由题意可得2
=100-（5+8+22+25+20+12）=100－92=8

所以
=4………………………………………………………………………（4分）

（2）由
,
,
,
,
,这五位代表中任选两人共有如下10种不同宣发，分别为
,
,
,
,
,
,

,
,
,
．………………………………（9分）

记“
,
至少有1人被选中”为事件A,A包含的基本事件
,
,
,
,
,
,
，共7个 ∴

即家庭代表
,
至少有1人被选中的概率为
…………………………（12分）

20.证明：

(1)设
，
的斜率为
，

的斜率为
. …………………………（3分）

由已知
，化简得
………………（6分）

（2）设
，

∴
，即
的斜率等于

∴直线
方程为
，即
…………………(12分)

21．解：

（1）由
消去得

得
＜
…………………………………（3分）

∴
满足
＜
，∴
………………………………………（6分）

（2）到直线
的距离为
，
………………（8分）

∴=5或=－1……………………（11分）

∴点坐标为（－1,0）或（5,0）……………………………………（12分）

22．解：

（1）由已知
∴
，又
∴

故椭圆
的标准方程为
…………………………………（5分）

（2）由题知，直线
有斜率，设
：
，
，
，

由
消去得
…（6分）

得

……………………………（8分）

∵
,∴

∴

∵点在椭圆上，∴
∴

∵
即
∴
…（11分）

∴
∴
∴
∴

∴
∴
或

故实数范围是
……………………（12分）