吉林省实验中学

2013—2014学年度上学期模块一

高二数学理试题

命题人：高立东 审题人：迟禹才

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知空间四边形AB
CD中，G为CD的中点，则
等于

（A）
（B）
（C）
（D）

（2）抛物线
的焦点坐标为

（A）
（B）
（C）
（D）

（3）椭圆
上一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点．则|ON|等于

（A）2 （B）4 （C）8 （D）

（4
）与椭圆
共焦点且过点P(2，1)的双曲线方程是

（A）
（B）
（C）
（D）

（5）已知动点P在曲线
上移动，则点
与点P连线中点的轨迹方程是

（A）
（B）
（C）
（D）

（6
）一动圆与圆O：x2＋y2＝1外切，与圆C：x2＋y2－6x＋8＝0内切，那么动圆的圆心的轨迹是

（A）圆　　　 （B）椭圆 （C）双曲线的一支 （D）抛物线

（7）已知直线
和直线
，抛物线
上一动点
到直线
和直线
的距离之和的最小值是

（A）
（B）2 （C）
（D）3

（8）已知对k∈R，直线y－kx－1＝0与椭圆
恒有公共点，则实数m的取值范围是

（A）
（B）
（C）
（D）

（9）椭圆
的离心率为
，则k的值为

（A）－21 （B）21 （C）
或21 （D）
或21

（10）已知双曲线
的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则
的最小值为

（A）－2 （B）
（C）1 （D）0



（11）已知双曲线的方程为
,过左焦点


作斜率为
的直线交双曲线的右支于点P,且y轴平分线段
,则双曲线的离心率为

（A）
（B）
（C）
（D）

（12）椭圆
的左右焦点分别为
，若椭圆
上恰好有6个不同的点
，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆
的离心率的取值范围是[来源:Z#xx#k.Com]

（A）
（B）
（C）
（D）

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）过点
作一直线与椭圆
相交于A、B两点，若

点恰好为弦
的中点，则
所在直线的方程为 ．

（14）过点
作斜率为1的直线l，交抛物线
于A、B两点，则|AB|＝ ．

（15）已知双曲线
的左、右焦点分别为
、
，点
在双曲线的右支上，且
，则
＝ ．

（16）设抛物线C：
的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直

径的圆过点(0, 2)，则C的方程为 ．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分10分）

已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（－5，0），（5，0），且AC，BC所在直

线的斜率之积等于m（m≠0），求顶点C的轨迹．

（18）（本小题满分12分）

已知圆C:
与直线l：
，且直线l被圆C截得的弦长

为
．　　

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）当
时，求过点(3，5)且与圆C相切的直线方程.

（19）（本小题满分12分）

如图，底面为直角梯形的四棱锥
中，AD∥BC，
平面
，
，BC＝6．

（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值．

（20）（本小题满分12分）[来源:Zxxk.Com][来源:学.科.网Z.X.X.K]

已知双曲线
(a＞
0，b＞0)的离心率
，过点A(0，－b)和B(a，0)的直

线与原点的距离是
．

（Ⅰ）求双曲线的方程及渐近线方程；

（Ⅱ）若直线y＝kx＋5 (k≠0)与双曲线交于不同的两点C、D，且两点都在以A为圆心

的同一个圆上，求k的值．

（21）（本小题满分12分）

已知经过点A（－4，0）的动直线l与抛物线G：
相交于B、C，当直线l的斜率是
时，
．

（Ⅰ）求抛物线G的方程；

（Ⅱ）设线段BC的垂直平分线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．

（22）（本小题满分12分）

在平面直角坐标系
中，动点
到两点
，
的距离之和等于4，设点
的轨迹为
曲线C，直线过点
且与曲线C交于A，B两点．

（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；

（Ⅱ）是否存在△AOB面积的最大值，若存在，求出△AOB的面积；若不存在，请说明理由.[来源:学科网]

参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）A （2）D （3）B （4）B （5）C （6）C

（7）B （8）C （9）C （10）A （11）A （12）D

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）
（14）
（15）90° （16）
或

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）解：

设点C的坐标为
，由已知，得

直线AC的斜率
，

直线BC的斜率
，

由题意得
，所以

即
………………………7分

当
时，点C的轨迹是椭圆
，或者圆
，并除去两点

当
时，点C的轨迹是双曲线，并除去两点
………………………10分

（18）解：

（Ⅰ）由已知可得圆C的圆心为
，半径为2，则圆心到直线的距离为
，

由勾股定理
，解得
或

（Ⅱ）当
时，圆的方程为
。设切线的方程为
，由
，解得

所以所求切线方程为

（19）解：

（Ⅰ）如图，以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，

则
，
，
，
，
，

，
，
，
……………………2分

．
，
，

又
，

面
． ………………………………6分

（Ⅱ）设平面
的法向量为
，

设平面
的法向量为
，

则
……………………8分

解得．

令
，则
……………10分

二面角
的余弦值为
．………………12分

（20）解：

（Ⅰ）直线AB的方程为：
即

又原点O到直线AB的距离

由
得
………3分

所求双曲线方程为
.………4分

（注：也可由面积法求得
）

渐近线方程为：
………5分

（Ⅱ）方法1：由（1）可知A（0，－1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由|AC|＝|AD|

得：
……7分

∴3＋3y12＋（y1＋1）2＝3＋3y22＋（y2＋1）2，

整理得： （y1－y2）[2（y1＋y2）＋1]＝0，

∵k≠0，∴y1≠y2，∴y1＋y2＝－
，

又由
（1－3k2）y2－10y＋25－3k2＝0 （k2≠0且k2≠
），

∴y＋y2＝
， ……10分

得k2＝7， ………11分

由△＝100－4（1－3k2）（25－3k2）>0
k2＝7满足此条件，

满足题设的
＝
. ………12分

方法2：由

， ………7分

设C（x1，y1），D（x2，y2），CD的中点M（x0，y0），

∵|AC|＝|AD|，∴M在CD的中垂线AM上， ……9分

∵
∴
……11分

整理得
解得
＝
.（
满足
………12分

（21）

解：(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，由
已知k1＝
时，l方程为y＝
(x＋4)

即x＝2y－4．由
得2y2－(8＋p)y＋8＝0

∴

又∵

∴y2＝4y1 ………………………5分

由p＞0得：y1＝1，y2＝4，p＝2，即抛物线方程为：x2＝4y．(2)设l：y＝k(x＋4)，BC中点坐标为(x0，y0
)由
得：x2－4kx－16k＝0①

∴x0＝
＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k．∴BC的中垂线方程为y?2k2?4k＝?
(x?2k)∴BC的中垂线在y轴上的截距为：b＝2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2对于方程①由△＝16k2＋64k＞0得：k＞0或k＜－4．∴b∈(2，＋∞) ………………………12分

（22）解：

（Ⅰ）由椭圆定义可知，点
的轨迹C是以
，
为焦点，长半轴长为2的椭圆．

故曲线
的方程为
． …………………………………………………4分

（Ⅱ）存在△
面积的最大值.

因为直线过点
，可设直线的方程为
或
（舍）．

则

整理得
． …………………………………7分

由
．

设
．

解得
，
．

则
．

因为

． …………10分

设
，
，
．

则
在区间
上为增函数．

所以
．

所以
，当且仅当
时取等号，即
．

所以
的最大值为
． ……………………………………………
……12分