吉林省实验中学

2013—2014学年度上学期模块一

高二数学文试题

命题人：赵晓玲 审题人：高二文数备课组

第Ⅰ卷（选择题）

选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.某中学高二年级的一个研究性学习小组拟完成下列两项调查：

①从某社区430户高收入家庭，980户中等收入家庭，290户低收入家庭中任意选出170户调查社会购买力的某项指标；

②从本年级12名体育特长生中随机选出5人调查其学习负担情况；

则该研究性学习小组宜采用的抽样方法分别是

A.①用系统抽样，②用简单随机抽样 B.①用系统抽样，②用分层抽样

C.①用分层抽样，②用系统抽样 D.①用分层抽样，②用简单随机抽样

已知数据
是上海普通职工

个人的年收入,设
个数据的中位数为
，平均数为
，方差为
，如果再加上世界首富的年收入
，则这
个数据中，下列说法正确的是

年收入平均数大大增加，中位数一定变大，方差可能不变

年收入平均数大大增加，中位数可能不变，方差变大[来源:Z。xx。k.Com]

年收入平均数大大增加，中位数可能不变，方差也不变

年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变

3.同时抛掷两枚骰子，则两枚骰子向上的点数相同的概率为

A．　　 B． C． 　 D．

4.在等差数列
中，
，则前
项之和等于

Ａ．
　　Ｂ．
　　Ｃ．
　　Ｄ．

已知某几何体的三视图如右图，根据图中标出的尺寸

（单位：
），可得这个几何体的表面积为

A
.
B．

C.
D．

6.如图，程序框图的输出结果为－18，那么判断框①表示的“条件”应该是

？ B．
？

C．
？ D．
？

圆柱形容器内盛有高度为
的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆

柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如右图所示），则球的半径是

A.2
B. 3

C.4
D.

8.在下列条件下，可判断平面α与平面β平行的是

A. α、β都垂直于平面γ B. α内不共线的三个点到β的距离相等

C. l,m是α内两条直线且l∥β,m∥β D. l,m是异面直线,且l∥α,m∥α,l∥β,m∥β

9.已知点
，
,
，以线段
为直径作圆
，则直线
与圆
的位置
关系是

A．相交且过圆心 B．相交但不过圆心 C．相切 D．相离

10.已知正方形ABCD的边长为2， H是边DA的中点.在正方形ABCD内部随机取一点P，则满足|PH|<
的概率为

A．
B．
C．
D．

11.两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．如下图中实心点的个数
，
，
，
，…为梯形数．根据图形的构成，记此数列的第
项为
，则
　　　

A．
　B．
　C．
　D．

12. 在四边形
中，
∥
，
，将
沿
折起，使平面
平面
，构成三棱锥
，则在三棱锥
中，下列命题正确的是

A．平面
平面
B．平面
平面

C．平面
平面
D．平面
平面

第Ⅱ卷（非选择题）

填空题：本大题共4小题，每小题 5分，共20分。

某篮球学校的甲、乙两名运动员练习罚球，

每人练习10组，每组罚球40个．命中个数

的茎叶图如右图．则罚球命中率

较高的是 .

14.已知直线
与
垂直，则
的值是 .

15.已知等比数列
的前n项和为
，若
，则
___________.

16.已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值 ．

解答题：本大
题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（本小题满分10分）

已知
为等差数列，且
,
为
的前
项和.

（Ⅰ）求数列

的通项公式
及
；

（II）设
，求数列
的通项公式
及其前
项和
．

（本小题满分12分）

某同学在生物研究性学
习中，对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是他在4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：

日 期

4月1日

4月7日

4月15日[来源:学科网]

4月21日

4月30日



温差

10

11

13

12

8



发芽数
颗

23

25

30

26

16



（I）从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另三天的数据，求出
关于
的线性回归方程
；

（II）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（I）中所得的线性回归方程是否可靠？

（参考公式：

，
）

（参考数据：
，
）

19.（本小题满分12分）

如图，
为圆
的直径，点
、
在圆
上，矩形
所在的平面和圆
所在的平面互相垂直，且
，
.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求三棱锥
的体积；

20.（本小题满分12分）

某高校在2013年的自主招生考试
成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组
，第2组
，第3组
，第4组
，第5组
，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上（含85分）的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格．

（Ⅰ）求出第4组的频率，并补全

频率分布直方图；

（Ⅱ）根据样本频率分布直方图估

计样本的中位数；

（Ⅲ）如果用分层抽样的方法从“优

秀”和“良好” 的学生中共选出5人，

再从这5人中选2人，那么至少有

一人是“优秀”的概率是多少？

21.(本小题满分12分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，[来源:学科网ZXXK]

PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，

PA＝AB＝4，G为PD的中点，E是AB的

中点.

（I）求证：AG∥平面PEC；

（II）求点G到平面PEC的距离．

（本小题满分12分）

已知动点M
到定点
与到定点
的距离之比为3.

（I）求动点M的轨迹C的方程，并指明曲线C的轨迹；

（II）设直线
,若曲线C上恰有两个点到直线
的距离为1，

求实数
的取值范围。

[来源:学+科+网]

参考答案

选择题：

1. D 2. B 3. C 4. A 5.B 6.C 7. A 8.D 9.B 10. B 11.D 12.D

填空题：本大题
共4小题，每小题 5分，共20分。

13.甲 14. 1或4 15. 33 16.

解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.
解：（Ⅰ）设数列
的公差为d，由题意得
，

解得
， 2……分

所以
．------4分

------6分

（Ⅱ）
-----8分

……10分

18. 解：（I）由数据得
，-------4分

，
，

又
，
，

，-----6分

．----7分

所以
关于
的线性回归方程为
．……………………………8分

（II）当
时，
，|22-23|
，当
时，
|17-16|
---10分

所以得到的线性回归方程是可靠的．……………………………12分

19.（Ⅰ）证明：平面

平面
，
,

平面

平面
，

平面
，

∵AF在平面
内，∴
， ……………　3分

又
为圆
的直径，∴
，

∴
平面
. ………………………… 6分

（Ⅱ）解：由（1）知
即
，

∴三棱锥
的高是
，

∴
,………　8分

连结
、
，可知

∴
为正三角形，∴正
的高是
，………10分

∴
，……12分

20.解：（Ⅰ）其它组的频率为（0．01+0．07+0．06+0．02）×5=0．8，[来源:Z*xx*k.Com]

所以第四组的频率为0．2，-----2分

频率/组距是0.04

频率分布图如图： ……4分

（Ⅱ）设样本的中位数为
，则
…… 5分

解得

所以样
本中位数的估计值为
……………6分

（Ⅲ）依题意良好的人数为
人，优秀的人数为
人抽取比例为1/8，所以采用分层抽样的方法抽取的5人中有优秀3人，良好2人 ……8分

法1：记从这5人中选2人至少有1人是优秀为事件M

将考试成绩优秀的三名学生记为A,B，C， 考试成绩良好的两名学生记为a,b

从这5人中任选2人的所有基本事件包括：AB,AC,BC，Aa,Ab,Ba,Bb，Ca,Cb,ab

共10个基本事件 …………………9分

事件M含的情况是：AB,AC,BC，Aa,Ab,Ba,Bb，Ca,Cb，共9个 ……10分

所以
…
…………
…12分

法2：P=

（I）证明：取PC的中点F,连接GF,则
又
,且

,四边形GAEF是平行四边形

∴EF∥AG，-------4分

又AG
面PEC，EF
面PEC， ∴AG∥平面PEC． ………6分

（II）由AG∥平面PEC知 A．G两点到平面PEC的距离相等

由（1）知A．E、F、G四点共面，又AE∥CD ∴ AE∥平面PCD

∴ AE∥GF，∴ 四边形AEFG为平行四边形，∴ AE＝GF ，PA＝AB
＝4，

G为PD中点，FG

CD， ∴FG＝2 ∴ AE＝FG＝2

∴
， ……………9分

又EF⊥PC，EF＝AG
．

∴
---10分

又
，∴
，

即
，

∴
，∴ G点到平面PEC的距离为
．………………………12分

22.解：解：（I）
--------2分

整理得：
即为M的轨迹方程-------4分

曲线C的轨迹是以
为圆心，
为半径的圆-------6分

（II）设圆心到直线
的距离为
，当
时，符合题意-------8分

，即
，

当
时，
--------9分

当
时，
------10分

的取值范围是：
---12分