（测试时间：120分钟 卷面总分：150分）

一．选择题（每小题5分，共50分）

1．过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为（ ）

A．x＋2y－5＝0 B．2x＋y－4＝0 C．x＋3y－7＝0 D．3x＋y－5＝0

2．已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（ ） (　　)

A． B．(1，＋∞) C．(1,2) D．

3．方程(x2＋y2－4)＝0的曲线形状是（ ）

4．已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是（ ）

A．圆 B．直线 C．椭圆
D．抛物线

5．经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为（ ）

A．x＋2y－6＝0 B．2x＋y－6＝0

C．x－2y＋7＝0 D．x－2y－7＝0

6．抛物线y＝－4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（ ）

A．－ B．－ C． D．

7．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋m2＝4，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＝8－m2(m>3)，则两圆的位置关系是（ ）

A．相交 B．内切 C．外切 D．相离

8．若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜
角的取值范围是（ ）

A．
B． C． D．

9．已知点P(a，b)(ab≠0)是圆x2＋y2＝r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在直线，直线l的方程为ax＋by＝r2，那么（ ）

A．m∥l，且l与圆相交 B．m⊥l，且l与圆相切

C．m
∥l，且l与圆相离 D．m⊥l，且l与圆相离

10．设F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，已知点P(其中c为椭圆的半焦距)，若线段PF1的中垂线恰好过点F2，则椭圆离心率的值为（ ） (　　)（）

A. 
B． C． D．

二．填空题（每小题5分，共25分）

11. 抛物线y＝mx2的焦点坐标为________．

12. 过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为，则直线l的斜率为

________．

13. 若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为________．

14. 若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为
，则的值为________．

15. 若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．

三．解答题：本大题共6小题，满分12+12+12+12+13+14=75分．解答须写出

文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

（1）求点A(3,2)关于点B(－3,4)的对称点C的坐标；

（2）求直线3x－y－4＝0关于点P(2，－1)对称的直线l的方程；

（3）求点A(2,2)关于直线2x－4y＋9＝0的对称点的坐标．

17．（本小题满分12分）

过抛物线C:y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．

（1）若直线l被抛物线C截得的弦以M(1，1)为中点，求直线l的方程。

（2）若|AF|＝3，求△AOB的面积为。

18．（本小题满分12分）

已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦为AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由．

19．（本小题满分12分）

已知F1、F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限的一点，B也在椭圆上，且满足＋＝ (O为坐标原点)，·＝0，且椭圆的离心率为.

（1）求直线AB的方程；

（2）若△ABF2的面积为4，求椭圆的方程．

20．（本小题满分13分）

已知椭圆
的离心率
，它的一个焦点与抛物线
的焦点重合.过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点.

（1）
求椭圆的标准方程；

（2）设点M(1，0)，且
，求直线l的方程.

21．（本小题满分14分）

如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足
＝，AB⊥AF2.

（1）求椭圆C的离心率；

（2）D是过A，B，F2三点的圆上的点，D到直线l：x－y－3＝0的最大距离等于椭圆长轴的长，求椭圆C的方程．

高二第一次月考数学答案（理科）

1．过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为 (　　)

A．x＋2y－5＝0 B．2x＋y－4＝0

C．x＋3y－7＝0 D．3x＋y－5＝0

2．已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是 (　　)

A. B．(1，＋∞)

C．(1,2) D.

解析：由题意可得，2k－1>2－k>0，

即解得1

3.方程(x2＋y2－4)＝0的曲线形状是 (　　)

解析：由题意可得或x＋y＋1＝0.它表示直线x＋y＋1＝0和圆x2＋y2－4＝0在直线x＋y＋1＝0右上方的部分．

4．已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是 (　　)

A．圆 B． 直线

C．椭圆 D．抛物线

解析：点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|.又AM是圆的半径，∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|，由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆．

5．经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为 (　　)

A．x＋2y－6＝0 B．2x＋y－6＝0[来源:Z。xx。k.Com]

C．x－2y＋7＝0 D．x－2y
－7＝0

解析：法一：直线过P(1,4)，代入，排除A、D，又在两坐标轴上的截距为正，排除C，故选B.

法二：设方程为＋＝1，将(1,4)代入得＋＝1，a＋b＝(a＋b)＝5＋≥9， 当且仅当b＝2a，即a＝3，b＝6时，截距之和最小，

∴直线方程为＋＝1，即2x＋y－6＝0.

6．抛物线y＝－4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是 (　　)

A．－ B．－

C. D.

解析：抛物线方程可化为x2＝－，其准线方程为y＝.

设M(x0，y0)，则由抛物线的定义，可知－y0＝1?y0＝－.[来源:学科网]

7．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋m2＝4，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＝8－m2(m>3)，则两圆的位置关系是 (　　)

A．相交 B．内切

C．外切 D．相离

8．若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是 (　　)

A. B. [来源:Zxxk.Com]

C. D.

解析：如图，直线l：y＝kx－，过定点P(0，－)，又A(3,0)，∴kPA＝，则直线PA的倾斜角为，满足条件的直线l的倾斜角的范围是.

9．已知点P(a，b)(ab≠0)是圆x2＋y2＝r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在直线，直线l的方程为ax＋by＝r2，那么 (　　)

A．m∥l，且l与圆相交 B．m⊥l，且l与圆相切

C．m∥l，且l与圆相离 D．m⊥l，且l与圆相离

解析：∵点P(a，b)(ab≠0)在圆内，∴a2＋b2

直线l的斜率kl＝－＝km，

∴m∥l，圆心O到直线l的距离d＝>＝r. ∴l与圆相离．

10．设F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，已知点P(其中c为椭圆的半焦距)，若线段PF1的中垂线恰好过
点F2，则椭圆离心率的值为 (　　)

A. B.

C. D.

11. 抛物线y＝mx2的焦点坐标为___(0,
)_____．

12. 过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为，则直线l的斜率为 1或________．

解析：将圆的方程化成标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，其圆心为(1,
1)，半径r＝1.由弦长为得弦心距为.设直线方程为y＋2＝k(x＋1)，即k
x－y＋k－2＝0，∴＝，化简得7k2－24k＋17＝0，∴k＝1或k＝.

13. 若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为_2_______．

解析：设椭圆＋＝1(a>b>0)，则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点，

∴S＝×2c×b＝bc＝1≤＝. ∴a2≥2.∴a≥.∴长轴长2a≥2，

14. 若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则的值为___±1_____．

解析：由题意得，＝≠，∴a＝－4，c≠－2，

则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0，

由两平行线间的距离，得＝. 解得c＝2或－6，所以＝±1.

15. 若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为___6_____．

解析：由题意得F(－1,0)，设点P(x0，y0)，则y＝3(－2≤x0≤2)，

·＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋y＝x＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2，

当x0＝2时，·取得最大值为6.

16. (1)求点A(3,2)关于点B(－3,4)的对称点C的坐标；

(2)求直线3x－y－4＝0关于点P(2，－1)对称的直线l的方程；

(3)求点A(2,2)关于直线2x－4y＋9＝0的对称点的坐标．

线段AB的中点在已知直线2x－4y＋9＝0上，则有解得 ∴所求的对称点的坐标为(1,4)．

17. 过抛物线C:y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．

(1)若直线l被抛物线C截得的弦以M(1，1)为中点，求直线l的方
程。

（2）若|AF|＝3，求△AOB的面积为。

18. 已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦为AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由

解：依题意，设l的方程为y＝x＋b① x2＋y2－2x＋4y－4＝0②

联立①②消去y得：2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有③

∵以AB为直径的圆过原点， ∴⊥，即x1x2＋y1y2＝0，

而y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2 ∴2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0，

由③得b2＋4b－4－b(b＋1)＋b2＝0，即b2＋3b－4＝0，∴b＝1或b＝－4，

经检验都合题意

∴满足条件的直线l存在，其方程为: x－y＋1＝0或x－y－4＝0.

19. 已知F1、F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限的一点，B也在椭圆上，且满足＋
＝0(O为坐标原点)，·＝0，且椭圆的离心率为.

(1)求直线AB的方程；

(2)若△ABF2的面积为4，求椭圆的方程．

解：(1)由＋＝0知直线AB过原点，

又·＝0，∴⊥.又e＝， ∴c＝a，∴b2＝a2，

∴椭圆方程为＋＝1，即x2＋2y2＝a2，设A代入

x2＋2y2＝a2?y＝a?A， ∴直线AB的方程为y＝x.

(2)由对称性知S△ABF1＝S△AF1F2＝S△ABF2，∴·2c·a＝4.

又c＝a，∴a2＝16，∴b2＝8，

∴椭圆方程为＋＝1.

20. (本小题满分13分）

已知椭圆
的离心率
，它的一个焦点与抛物线
的焦点重合.过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点.

(I)求椭圆的标准方程；

(II)设点M(1，0)，且
，求直线l的方程.

[来源:Zxxk.Com]

21.如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足＝，AB⊥AF2.

(1)求椭圆C的离心率；

(2)D是过A，B，F2三点的圆上的点，D到直线l：x－y－3＝0的最大距离等于椭圆长轴的长，求椭圆C的方程．

解：(1)设B(x0,0)，由F2(c,0)，A(0，b)，知＝(c，－b)，＝(x0，－b)

∵⊥，∴cx0＋b2＝0，x0＝－，

由＝知F1为BF2中点，故－＋c＝－2c

∴b2＝3c2＝a2－c2，即a2＝4c2，故椭圆C的离心率e＝

(2)由(1)知＝，得c＝a，于是F2(a,0)，B(－a,0)，

△ABF的外接圆圆心为F1(－a,0)，半径r＝a，

D到直线l：x－y－3＝0的最大距离等于2a，所以圆心到直线的距离为a，

所以＝a，解得a＝2，∴c＝1，b＝，

所以椭圆C的方程为＋＝1.ZXXK]