江苏省扬州中学2013—2014学年第一学期开学测试

高二数学试卷 2013.9

一．填空题：（本大题共14
小题，每小题5分，计70分）

1．设幂函数
的图象过点
，则
= ▲

2．已知平面向量
，
，且
//
，则m＝ ▲

3．已知函数
，则
▲

4．圆
和圆
的位置关系是 ▲

（在“外离”“相交”“外切”“内切”或“内含”中选择填空）

5．已知cosα＝，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)＝ ▲

6．已知等比数列
的前三项依次为a-1,a+1,a+4，则通项
▲

7．已知函数y＝tanωx在
(－，)内是减函数，则ω的取值范围是__ ▲___

8．设
是奇函数，则实数a=__ ▲___

9．已知a，b为非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为____▲___

10．在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在x轴上，一条渐近线方程为

2x—y=0，则双曲线的离心
率为 ▲

11．已
知
，则
▲

12．设全集
，
，

则
▲

13．设不等式组
，表示的平面区域为D。若指数函
数
的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是 ▲

14．点M是椭圆(a＞b＞0)上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P,Q，若△PQM是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围

是___ ▲_____[来源:学_科_网Z_X_X_K]

二．解答题：（本大题共6小题，计90分）

15．（本小题满分14分） 在
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、
，且

．

（Ⅰ）求函数
的最大值；

（Ⅱ）若
，
，
，求
的值．

16．（本小题满分14分）

已知函数
在
时有最大值1，

（1）求

的解析式；

（2）若
，且
时，
的值域为
. 试求m，n的值。

[来源:学科网ZXXK]

17．（本小题满分15分）

如图所示，将一矩形花坛
扩建成一个更大的矩形花园
，要求B在
上，D在
上，且对角线
过C点，已知AB=3米，AD=2米。

(1)
要使矩形
的面积大于32平方米，则
的长应在什么范围内?学

(2)当
的长度是多少时，矩形
的面积最小?并求最小面积；

(3)若
的长度不少于6米，则当
的长度是多少时，矩形
的面积最小？并求出最小面积。

18．
（本小题满分15分）

如图，在平面直角坐标系
中，点
，

直线
。设圆
的半径为
，圆心在
上。

（1）若圆心
也在直线
上，过点
作圆
的切线，求切线的方程；

（2）若圆
上存在点
，使
，求圆心
的

横坐标
的取值范围。

[来源:学.科.网Z.X.X.K]

19．（本小题满分16分）

设等差数列
中，
。

（1）求数列
的通项公式
；

（2）设数列
的通项公式为
，问：是否存在正整数t，使得

（
）成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由。

20．（本小题满分16分）

如图，已知椭圆
的上、下顶点分别为
，点
在椭圆上，且异于点
，直线
与直线
分别交于点
，

（Ⅰ）设直线
的斜率分别为
、
，求证：
为定值；

（Ⅱ）求线段
的长的最小值；

（Ⅲ）当点
运动时，以
为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．

高二数学开学测试答案 2013.9

1.
2. -4 3. 4 4.相交 5.

6.

7.

8.-
1 9.
10.
11.

12.
13.
14. (,)

15．（Ⅰ）
=

．

因为0＜A＜π，所以
．

则所以当
，即
时，f（A）取得最大值，且最大值为

．

（Ⅱ）由题意知
，所以
．

又知
，所以
，则
．因为
，

所以
，则
．

由
得，
．

16．解（1） 由题
，

（2）
，
，即
，
上单调减，

且
.

，n是方程
的两个解，方程即为

=0，

解方程，得解为1，
，
.
，

，
.

17．

[来源:学_科_网Z_X_X_K]

（3）
在
上单调递增，则矩形面积在x=6时，取最小值27平方米

18. 解：（1）由题设点
，又
也在直线
上，

，由题，过A点切线方程可设为
，

即
，则
，解得：
，∴所求切线为
或

（2）设点
，
，
，
，
，
，即
，又点
在圆
上，
，两式相减得
，

由题以上两式有公共点，

整理得：
，即
，令
，则
，解得：
，
，

解得：
．

19
．（1）

（2）整理得：

所以

20．解（Ⅰ）
，
，令
，则由题设可知
，

直线
的斜率
，
的斜率
，又点
在椭圆上，所以

，（
），从而有
。

（Ⅱ）由题设可以得到直线
的方程为
，

直线
的方程为
，

由
， 由
，[来源:学.科.网]

直线
与直线
的交点
，直线
与直线
的交点
。

又
，

，

等号当且仅当
时取到，即
，故线段
长的最小值是
。