梁山一中2012—2013学年高二下学期期末考试

数学（理）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1。在复平面内，复数
对应的点位于(　　)

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．
等于 （ ）

A. 1 B. e --- 1 C. e D. e + 1

3.曲线
在点（1，-1）切线方程为（ ）

A.
B.

C.
D.

4.函数
的定义域为集合
，函数
的定义域为集合
，则
(　　)

A．
B．
C．
D．

5.在等比数列
中，若
，
是方程
的两根，则
的值是（ ）

A.
B.
C.
D.

6.某班级有70名学生，其中有30名男生和40名女生， 随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93，下列说法正确的是(　　)

A.这种抽样方法是一种分层抽样

B.这种抽样方法是一种系统抽样

C.这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差

D.该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数

7.给定命题
：函数
和函数
的图象关于原点对称；命题
：当
时，函数
取得极小值．下列说法正确的是（ ）

A.
是假命题 B.
是假命题

C.
是真命题 D.
是真命题

8.函数
的部分图象大致是 （ ）

9、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）



A.
B.
C.
D.

10. 函数
的一个单调递增区间是（ ）

A．
B.
C.
D.

11. 从不同号码的
双鞋中任取
只，其中恰好有
双的取法种数为(　　)

A．
B．
C．
D．

12. 将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个6点”，则 概率
等于: (　　)

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知动点M到A（4，0）的距离等于它到直线x=1的距离的2倍，则动点M的轨迹方程为(　　).

14.观察下列等式：
=（
﹣
）×
，
=（
﹣
）×
，
=（
﹣
）×
，
=（
﹣
）×
，…可推测当n≥3，n∈N*时，
=(　　)．

15.已知椭圆
+
=1与双曲线
﹣y2=1有共同焦点F1，F2，点P是两曲线的一个交点，则|PF1|?|PF2|=(　　)

16.若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，且
在I上是减函数，则称y=f（x）在I 上是“弱增函数”．已知函数h（x）=x2﹣（b﹣1）x+b在（0，1]上是“弱增函数”，则实数b的值为(　　)

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分）

设函数
．

（1）解不等式
；

（2）求函数
的最小值．

18.（本小题满分12分）

已知以点P为圆心的圆经过点A（﹣1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|=4
．

（1）求直线CD的方程；

（2）求圆P的方程．

19．（本小题满分12分）

设函数f（x）=lnx﹣ax，a∈R．

（1）当x=1时，函数f（x）取得极值，求a的值；

（2）当a＞0时，求函数f（x）在区间[1，2]的最大值；

（3）当a=﹣1时，关于x的方程2mf（x）=x2（m＞0）有唯一实数解，求实数m的值．

20．（本小题满分12分）

有两枚均匀的硬币和一枚不均匀的硬币，其中不均匀的硬币抛掷后出现正面的概率为
．小华先抛掷这三枚硬币，然后小红再抛掷这三枚硬币．

（1）求小华抛得一个正面两个反面且小红抛得两个正面一个反面的概率；

（2）若用
表示小华抛得正面的个数，求
的分布列和数学期望；

（3）求小华和小红抛得正面个数相同（包括0个）的概率．

21．（本小题满分12分）

已知函数
．

（1）若函数
的图象在点
处的切线方程为
，求实数
，
的值；

（2）若
，求
的单调减区间；

（3）对一切实数a((0,1)，求f(x)的极小值的最大值．

22．（本小题满分12分）

如图，点A（( a，0），B（
，
）是椭圆
上的两点，直线AB与y轴交于点C（0，1）．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点C任意作一条直线PQ与椭圆相交于P，Q，求PQ的取值范围．

参考答案:

1-5 CBACD 6-10 CBCDA 11-12 AA

13.　3x2﹣y2=12　．

14.　（
﹣
）×
　

15. 　5　．

16. 　1　．

17.（1）令
，则

作出函数
的图象，它与直线
的交点为
和
．

所以
的解集为

（3）由函数
的图像可知，

当
时，
取得最小值

18.解：（1）直线AB的斜率k=1，AB中点坐标为（1，2），

∴直线CD方程为y﹣2=﹣（x﹣1）即x+y﹣3=0

（2）设圆心P（a，b），则由点P在直线CD上得：

a+b﹣3=0 ①…（8分）

又直径|CD|=
，∴

∴（a+1）2+b2=40 ②

由①②解得
或

∴圆心P（﹣3，6）或P（5，﹣2）

∴圆P的方程为（x+3）2+（y﹣6）2=40 或（x﹣5）2+（y+2）2=40

19.解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），所以f′（x）=
﹣a=
．

因为当x=1时，函数f（x）取得极值，所以f′（1）=1﹣a=0，所以a=1．

经检验，a=1符合题意．（不检验不扣分）

（2）f′（x）=
﹣a=
，x＞0．

令f′（x）=0得x=
．因为x∈（0，
）时，f′（x）＞0，x∈（
，+∞）时，f′（x）＜0，

所以f（x）在（0，
）递增，在（
，+∞）递减，

①当0＜
≤1，即a≥1时，f（x）在（1，2）上递减，所以x=1时，f（x）取最大值f（1）=﹣a；

②当1＜
＜2，即
＜a＜1时，f（x）在（1，
）上递增，在（
，2）上递减，

所以x=
时，f（x）取最大值f（
）=﹣lna﹣1；

③当
≥2，即0＜a≤
时，f（x）在（1，2）上递增，所以x=2时，f（x）取最大值f（2）=ln2﹣2a．

综上，①当0＜a≤
时，f（x）最大值为ln2﹣2a；②当
＜a＜1时，f（x）最大值为﹣lna﹣1；

③当a≥1时，f（x）最大值为﹣a．

（3）因为方程2mf（x）=x2有唯一实数解，

所以x2﹣2mlnx﹣2mx=0有唯一实数解，

设g（x）=x2﹣2mlnx﹣2mx，

则g′（x）=
，