安徽省六校教育研究会2013年高二素质测试

数学（理科）

本试卷分第Ⅰ卷和第II卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第II卷第3至第5页。全卷满分150分，考试时间为120分钟。

考生注意事项：

1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中的姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。

2．答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上所对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．答第II卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡的规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合A={1,3，
}，
为虚数单位,B={4}，A∪B=A则复数
=（ ）

A．-2
B． 2
C.-4
D.4

2.“
”是“向量
与向量
共线”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3. 函数
在
上的单增区间是（ ）

A．
B．

C．
D．

4.在正项等比数列{
}中，
＜
,
,则
=（ ）

A．
B．

C．
D．

5. 某流程图如图所示，现输入如下四个函数，

则可以输出的函数是（ 　　）

A．
B．

C．
D．

6. 已知正方形ABCD的边长为2， H是边DA的中点.在正方形ABCD内部随机取一点P，则满足|PH|<
的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

7.
分别是自然对数的底和圆周率，则下列不等式不成立的是（ ）

A.
B.

C.
D.

8.已知双曲线
的右焦点为F(2,0),设A、B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M,BF的中点为N,若原点O在以线段MN为直径的圆上，直线AB的斜率为
，则双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．2 D．4

9. 某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动（含
正半轴上的整点），其运动规律为
或
。若该动点从原点出发，经过6步运动到（6,2）点，则有（ ）种不同的运动轨迹。

A．15 B．14 C． 9 D．10

10. 定义：符合f(x)=x的x称为f(x)的一阶不动点，符合f(f(x))=x的x称为f(x)的二阶不动点。设函数f(x)=
+bx+c,若函数f(x)没有一阶不动点，则函数f(x)二阶不动点的个数为（ ）

A．四个 B．两个

C．一个 D．零个

第II卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11． 已知
的最小值为
，则二项式
展开式中
项的系数为 .

12. 设函数
，则方程
的解集为 。

13.若实数x,y满足不等式组
，则
的最大值是 。

14. 设直线
与曲线
有三个不同的交点
,且
,则直线
的方程为_________________。

15. 如图所示，正方体
的棱长为1,
分别是棱
，
的中点，过直线
的平面分别与棱
、
交于
，设
，
，给出以下四个命题：

①平面

平面
；

②当且仅当x=
时，四边形MENF的面积最小；

③四边形
周长
，
是单调函数；

④四棱锥
的体积
为常函数；

以上命题中真命题的序号为 。

三、解答题：本大题共6小题，共75分.

16.(本小题满分12分)凸四边形PABQ中，其中A、B为定点，AB=
，P、Q为动点，满足AP=PQ=QB=1.

（1）写出
的关系式；

（2）设
的面积分别为Ｓ和Ｔ，求
的最大值，以及此时凸四边形PABQ的面积。

17.（本小题满分12分）小明参加完高考后，某日路过一家电子游戏室，注意到一台电子游戏机的规则是：

你可在1,2,3,4,5,6点中选一个，押上赌注a元。掷3枚骰子，如果所押的点数出现1次、2次、3次，那么原来的赌注仍还给你，并且你还分别可以收到赌注的1倍、2倍、3倍的奖励。如果所押的点数不出现，那么赌注就被庄家没收。

（1）求掷3枚骰子，至少出现1枚为1点的概率；

（2）如果小明准备尝试一次，请你计算一下他获利的期望值，并给小明一个正确的建议。

18．（本小题满分12分）如图，几何体
中，四边形
为菱形，
，
，面
∥面
,
、
、
都垂直于面
,且
，
为
的中点，
为
的中点.

（1）求几何体
的体积；

（2）求证：
为等腰直角三角形；

（3）求二面角
的大小.

19.（本小题满分13分）设数列
的前n项和为Sn,且
.

(1)求数列
的通项公式；

(2)令
,记数列
的前n项和为Tn.求证：Tn<
，

20.（本小题满分13分）点P是椭圆
外的任意一点，过点P的直线PA、PB分别与椭圆相切于A、B两点。

（1）若点P的坐标为（1,2），求直线AB的方程。

（2）设椭圆的左焦点为F，请问：当点P运动时，
是否总是相等？若是，请给出证明。

21.（本小题满分13分）设函数
(其中
).

(1) 当
时,求函数
的单调区间和极值；

(2) 当
时,证明函数
在R上有且只有一个零点。安徽省六校教育研究会2013年高二素质测试

数学（理科）参考答案及评分细则

一、选择题

DACDB BCCCD

二、填空题

11．15 12．
13．4

14．
15．①②④

三、解答题

16．（1）由余弦定理，在ΔPAB中，

=
，在ΔPQB中，
=
。

所以
=
，即
--------------------------------4分

（2）

=

当
时，
此时，
------------------------12分

17．（1）
------------------------ 4分

（2）

所以
----------------------12分

18．（1）
---------3分

（2）连接
，交
于
，因为四边形
为菱形，
，所以

因为
、
都垂直于面
,

，又面
∥面
,

所以四边形
为平行四边形 ,则
因为
、
、
都垂直于面
,则

所以

所以
为等腰直角三角形 -----------------7分

（3）取
的中点
，因为
分别为
的中点，所以
∥

以
分别为
轴建立坐标系，则

所以

因为

-------------------------------------------------------------12分

19.（1）

由
得

由

-------------------------------------------6分

（2）

当n=1时，T1=

综上，Tn<

--------------------------------------------13分

20．（1）设点A的坐标为（x1,y1）,则过点A的切线方程为
。

---------------------5分

（2当点P运动时，
总是相等的。

F(-1，0)。设点P的坐标为（m,n）,则由（1）知，
。

--------------------13分

21．

（1）

当
时,
,

令
,得
,

当
变化时,
的变化如下表:































极大值



极小值





 右表可知,函数
的递减区间为
,递增区间为
,
.极大值为-1，极小值为
。-----------------------6分

（2）
,

当x<1时，f(x)<0,所以f(x)在
上无零点。故只需证明函数
在
有且只有一个零点。

若
，则

②若
，则

-------------------------------------------------------13分