北京市西城区（南区）2012-2013学年下学期高二期末质量检测

数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 复数
化简的结果为（ ）

A.
B.
C.
D.

2.
展开式中的常数项等于

A. 70 B. 65 C. -70 D. -65

3. 给出下面类比推理命题（其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）：

①“若a,
，则
”类比推出“若a,
，则
”；

②“若a,b,c,
，则复数
，
”类比推出“若a,b,c,
，则复数
，b=d”

③“若a,
，则
”类比推出“若a,
，则
”

其中类比得到的结论正确的个数是

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

4. 已知直线l经过（-1，0），（0，1）两点，且与曲线
切于点A（2，3），则
的值为

A. -2 B. -1 C. 1 D. 2

5. 函数
的单调递减区间是（ ）

A.
B.
C.
D.

6.
的值为（ ）

A. e+1 B. e-1 C. 1-e D. e

7. 某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同，因此该学生不能同时报考这两所学校。则该学生不同的报考方法种数是

A. 16 B. 24 C. 36 D. 48

8. 若曲线
在点（0，b）处的切线方程是
，则

A. a=1，b=1 B. a=-1，b=1　　C. a=1，b=-1 D. a=-1，b=-1

9. 已知
，若P（
）=0.2，则

A. 0.2 B. 0.3 C. 0.7 D. 0.8

10. 若函数
的导函数
的图象如下图所示，则函数
的图象可能是

11. 对同一目标进行两次射击，第一、二次射击命中目标的概率分别为0.5和0.7，则两次射击中至少有一次命中目标的概率是

A. 0.35 B. 0.42 C. 0.85 D. 0.15

12. 已知
是定义在R上的可导函数，若函数
，满足
对
恒成立，则下面四个结论中，所有正确结论的序号是

①
；　　②
对
成立；

③
可能是奇函数；　④
一定没有极值点。

A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ②③④

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13. 复数
的共轭复数是______________。

14.
展开式中所有系数和为M，所有二项式系数和为N，则
________。（用数字作答）

15. 函数
有极大值又有极小值，则a的取值范围是_________。

16. 马老师从课本上抄录一个随机变量
的概率分布列如下表：

x

1

2

3





?

!

?



请小牛同学计算
的数学期望，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同，据此，小牛给出了正确答案
=__________。

三、解答题：本大题共5小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. （本小题满分7分）设函数

（I）求曲线
在点（2，
）处的切线方程；

（II）求函数
在区间[0，2]上的最大值与最小值。

18. （本小题满分8分）4个男同学，3个女同学站成一排。

（I）男生甲必须排在正中间，有多少种不同的排法？

（II）3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？

（III）任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？

（IV）其中甲、乙两名同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？（用数字作答）

19. （本小题满分7分）用数学归纳法证明等式：

20. （本小题满分7分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局。

（I）求再赛2局结束这次比赛的概率；

（II）设
表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求
的概率分布列及数学期望。

21. （本小题满分7分）已知函数
，其中

（I）若x=2是f(x)的极值点，求a的值；

（II）求
的单调区间。

参考答案

一、选择题：

1. D 2. A 3. C 4. C 5. B 6. B

7. A 8. B 9. D 10. D 11. C 12. A

二、填空题：

13.
14. 64 15. （
，0） 16. 2

三、解答题：。

19. 解：①n=1时，

左边
，右边=-3，等式成立 2分

②假设
时，等式成立，

即
3分

当
时，

6分

所以
时，等式也成立。

由①②得，等式对任何
都成立 7分

20. 记
表示事件；第i局甲获胜，i=3，4，5

表示事件：第j局乙获胜，j=3，4，5

（I）设“再赛2局结束这次比赛”为事件A，则

，由于各局比赛结果相互独立，故

，由于各局比赛结果相互独立，故

2分

（II）
的可能取值为2，3

由于各局比赛结果相互独立，所以

5分

的分布列为

2

3



P

0．52

0．48





7分

21. （I）解：
，

依题意，令
，解得
2分

经检验，当
时，x=2是
的极值点。

（II）①当a=0时，

故f(x)的单调增区间是（0，
）；单调减区间是（-1，0） 3分

②当
时，令
，得
，或

当
时，f(x)与
的情况如下：

x

(-1,
)



(
)



(
)





-

0

+

0

+





↘



↗



↘



 所以，
的单调增区间是（0，
）；单调增区间是（-1，0）和（
，
）4分

当a=1时，
的单调减区间是（-1，
） 5分

当
时，
，
与
的情况如下：

x

(-1,
)



(
)



(
)





-

0

+

0

+



f(x)

↘



↗



↘



 所以，f(x)的单调增区间是（
，0）；单调减区间是（-1，
）和（0，
）6分

③当
时，f(x)的单调增区间是（0，
）；单调减区间是（-1，0） 7分

综上，当
时，f(x)的增区间是（0，
），减区间是（-1，0）；

当
时，f(x)的增区间是（0，
），减区间是（-1，0）和（
，
）；

当a=1时，f(x)的减区间是（-1，
）；

当
时，f(x)的增区间是（
，0）；减区间是（-1，
）和（0，
）