北京市西城区（南区）2012-2013学年下学期高二期末质量检测

数学试卷（文科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设全集
，集合
，
，则实数a的值为（ ）

A. 1 B. 3 C. 5 D. 7

2. 复数
化简的结果为（ ）

A.
B.
C.
D.

3. 曲线
在点（1，
）处的切线的斜率为（ ）

A. 1 B.
C. 2 D.

4. 化简：
（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 4

5. 设
，用二分法求方程
在（1，2）内的近似解的过程中得
，
，
，
，则方程的根落在（ ）

A. （1，1.25） B. （1.25，1.5）

C. （1.5，1.75） D. （1.75，2）

6. 当
时，函数
与
的图象是（ ）

7. 函数
的单调递减区间是（ ）

A.
B.
C.
D.

8. 若函数
是定义在R上的偶函数，在
上是减函数，且
，则使得
的x的取值范围是

A.
B.

C.
D.

9. 函数
在区间[-3，0]上的最大值、最小值分别为

A. 1，-1 B. 1，-17 C. 3，-17 D. 9，-19

10. 若函数
的导函数
的图象如下图所示，则函数
的图象可能是

11. 设函数
，集合
，
，若
，则实数a的取值范围是（ ）

A.
B. （0，1）

C. （
） D.

12. 设
是定义在R上的奇函数，且当
时，
，若对任意的
，不等式
恒成立，则实数t的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13. 复数
的共轭复数是______________。

14. 已知
，
，
，a，b，c按从小到大的顺序排列为________。

15. 已知函数
若函数
的图象经过点（3，8），则a=_______；若函数
在（
，
）上是增函数，那么实数a的取值范围是__________。

16. 函数
的定义域为A，若
，
且
时总有
，则称
为单函数，例如，函数
是单函数，下列命题：

①函数
是单函数；

②若
为单函数，
，
且
，则
；

③若f:A→B为单函数，则对于任意
，它至多有一个原象；

④函数
在某区间上具有单调性，则
一定是单函数。

其中的真命题是______________。（写出所有真命题的编号）

三、解答题：本大题共5小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. （本小题满分6分）

设函数
的定义域为A，函数
的定义域为B，当
时，求a的取值范围。

18. （本小题满分6分）

二次函数
的图象的一部分如下图所示。

（I）根据图象写出
在区间[-1，4]上的值域；

（II）根据图象求
的解析式；

（III）试求k的范围，使方程
在（-1，4]上的解集恰为两个元素的集合。

19. （本小题满分8分）

已知函数
在
处取得极值。

（I）求实数a的值；

（II）求函数
的单调区间、极大值和极小值。

20. （本小题满分8分）

已知函数
且

（I）若曲线
在（1，
）处的切线与
平行，求实数a的值；

（II）若
，求函数
的最小值。

21. （本小题满分8分）

已知函数
在区间[2，4]上的最大值为9，最小值为1，记

（I）求实数a,b的值。

（II）若不等式
成立，求实数的取值范围；

（III）定义在[p,q]上的函数
，设
，
，
，……，
将区间[p,q]任意划分成n个小区间，如果存在一个常数
，使得和式
恒成立，则称函数
为在[p,q]上的有界变差函数，试判断函数
是否为在[0，4]上的有界变差函数？若是，求M的最小值；若不是，请说明理由。（
表示
）

参考答案

一、选择题：

1. B 2. D 3. C 4. C 5. B 6. A

7. B 8. D 9. C 10. D 11. A 12. B

二、填空题：

13.
14.
15. 2；（1，3]　16. ②③

三、解答题：

19. 解：（I）因为
，

所以
，又
　　所以
2分

经检验，当
时，函数
在
处取得极值。

（II）当
时，
，
，

令
，得
或

则当x变化时，
与
的变化情况如下表：

x

（
，-1）

-1

（-1，3）

3

（3，
）





+

0

-

0

+





递增



递减

-8

递增




函数
的单调递增区间是（
，-1），（3，
）

函数
的单调递减区间是（-1，3） 6分

当
时，
取得极大值，极大值为
；

当x=3时，f(x)取得极小值，极小值为-8 8分

20. 解（I）

依题意
，

故a=2 3分

（II）

当
时，
，即f(x)在
上单调递减；

当
时，
，即
在
上单调递增 4分

（1）当
，即
时，

可知f(x)在（0，2]是减函数，

故x=2时，
6分

（2）当
，即
时，

可知f(x)在
递减，在
递增，故
时，

综上所述，当
时，
；
时，
8分

21. （本小题满分8分）

解：（I）
，因为
，

所以
在区间[2，4]上是增函数，

故
解得
2分

（II）由已知可得
为偶函数。

所以不等式
可化为
或

解得
或

即实数k的取值范围是（0，
）
4分

（III）函数
为[0，4]上的有界变差函数。

因为函数
在[0，1]上单调递减，在[1，4]上单调递增，且对任意划分

不妨设

所以有

所以

当
时，

；

当
时，

综上，存在常数
，使得
恒成立。

所以M的最小值为10 8分