武昌区2012-2013学年度第二学期期末调研考试

高二理科数学试题参考答案及评分细则

一、选择题：

1．B 2．C 3．C 4．B 5．C

6．A 7．A 8．D 9．C 10．C

二、填空题：

11．1 12．140+
13．
14．
15．81

三、解答题：

16．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）

．

由
，得
．

由
，

得
，

． …………………………………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
．

，
．

当
，即
时，
；

当
，即
时，
．

所以，函数
在区间
上的取值范围是
．………………………12分

17．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题意知

即

所以

因为
，所以
，
．

所以
． ……………………………………………6分

（Ⅱ）因为
，所以

，

，

……

．

以上各式相加，得
=
=
．

即
． ……………………………………………12分

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）根据茎叶图，有“优秀”12人，“非优秀”18人．

用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是
，

所以选中的“优秀”有
人，“非优秀”有
人．

用事件表示“至少有一名“优秀”被选中”，

则它的对立事件
表示“没有一名“优秀”被选中”，

则



．

因此，至少有一人是“优秀”的概率是
．

（另解：
） ………………………………………6分

（Ⅱ）依题意，
的取值为
，则

，
，

，
．

因此，
的分布列如下：
























．………………………………12分

19．（本小题满分12分）

解：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设CD=1．

（Ⅰ）证明：连结AC，AC交BD于点G，连结EG．

依题意得A（1，0，0），P（0，0，1），E（0，
，
）．

因为底面ABCD是正方形，所以点G是此正方形的中心，

故点G的坐标为（
，
，0），且
（1，0，-1），
（
，0，
）．

所以
2
，即PE//EG．

而EG平面EDB，且PA平面EDB，

因此PA//平面EDB．…………………………………4分

（Ⅱ）证明：依题意得B（1，1，0），
=（1，1，-1）．

又
=（0，
，
），故
=0+
-
=0．

所以PBDE．

由已知EFPB，且
，

所以PB平面EFD．…………………………………8分

（Ⅲ）解：已知PBEF，由（Ⅱ）可知PBDF，

故
是二面角C-PB-D的平面角．

设点F的坐标为（x，y，z），则
（x，y，z-1）．

因为
，所以
，

即
，
，
．

因为
，所以
1，1，


，
，

．

所以
，点F的坐标为
，
，
．

又点E的坐标为（
，
，
），所以
，
，
．

因为

，

所以
，即二面角C-PB-D的大小为
．………………………12分

20．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）设点M的坐标为（，），

因为
，
，

所以
，即
．

所以，曲线C的方程是
．………………………………4分

（Ⅱ）假设存在.将
代入
，得

．

即
．

设
，
，则

由韦达定理，得
．

依题意
，所以
，

即
．

，
．

即
．

于是
．

即
．

化简，得
．

所以，存在
，使得以PQ为直径的圆恒过点A．…………………………13分

21．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）函数的定义域为
．

当
时，
，
．

令
，得
．

当
时，
；当
时，
．

在
上单调递减，在
上单调递增．

有极小值，极小值为
，无极大值．…………………………6分

（Ⅱ）
．

当
，即
时，
，
在
上是减函数；

当
，即
时，令
，得
或
；

令
，得
．

当
，
，矛盾．

所以，当
时，
在
上单调递减；当
时，
在
和
上单调递减，在
上单调递增．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当
时，
在
上单调递减．

当
时，
有最大值，当
时，
有最小值．

．

．

而
，所以
，

则
，得
，

．…………………………………………………………………14分