一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合
，集合
，则
（ ）

A、
B、
C、
D、

2、投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为
和
，则复数

为纯虚数的概率为（　　）

A、
B、
C、
D、

3、已知两不共线向量
=（cos
，sin
），
=（cos
，sin
），则下列说法不正确的是（　　）

A、
B、

C、
与
的夹角为
D、
在
方向上的射影与
在
方向上的射影相等

4、已知
是第二象限角，且
，则
的值为 ( )

A、
B、
C、
D、

5、在等比数列
中，若
，
是方程
的两根，则
的值是（ ）

A.
B.
C.

D.

6、某班级有70名学生，其中有30名男生和40名女生， 随机询问了该班五名男生和五名女生在

某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93，下列说法正确的是 （　　）

A、这种抽样方法是一种分层抽样

B、这种抽样方法是一种系统抽样

C、这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差

D、该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数

7、给定命题
：函数
和函数
的图象关于原点对称；命题
：当
时，函数
取得极小值．下列说法正确的是（ ）

A、
是假命题 B、
是假命题

C、
是真命题 D、
是真命题

8、函数
的部分图象大致是 （ ）

9、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）

A、
B、
C、

D、

10、半径为1的球面上的四点A，B，C，D是正四面体的顶点，

则A与B两点间的球面距离为（　　 ）

A、

B、

C、
D、

11、已知函数
是定义在实数集R上的奇函数，且当
成立（其中
的导函数），若
，
，

，则
，
，
的大小关系是 （ ）

A、
B、
C、
D、

12、如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2AD，设
，
，以A，B为焦点且过
点D的双曲线的离心率为
，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为
，则
（　　）

A、随着角度
的增大，
增大，
为定值

B、随着角度
的增大，
减小，
为定值

C、随着角度
的增大，
增大，
也增大

D、随着角度
的增大，
减小，
也减小

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13、若一个几何体的三视图如图所示，

则此几何体的体积为　 ．

14、记者要为4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，

要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，则不同的 排法有　 　．

15、若
，且
，则
的取值范围是　_________　.

16、定义在
上的函数
满足
，当
时，
，则函数
在
上的零点个数是　 　 .

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（12分）在
中，角
对的边分别为
，且

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
，求
的面积

18、（12分）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为
．甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．

（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；

（Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ．

19、（12分）如图几何体，正方形
和矩形
所在平面[来源:Z|xx|k.Com]

互相垂直,
,
为
的中点,
于
。

（Ⅰ）求证:
；

（Ⅱ）求二面角
的大小。

20、（12分）已知椭圆
的焦距为4,且过点
.

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)设
为椭圆
上一点,过点
作
轴的垂线,垂足为
.取点
,连接
,过点
作
的垂线交
轴于点
.点
是点
关于
轴的对称点,作直线
,问这样作出的直线
是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由。

21、（12分）已知函数
(
,
为自然对数的底数).

（Ⅰ）若曲线
在点
处的切线平行于
轴,求
的值;

（Ⅱ）求函数
的极值;

（Ⅲ）当
的值时,若直线
与曲线
没有公共点,求
的最大值.

请考生在
三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．

22、（10分）选修4—1　几何证明选讲

如图，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，

∠BAC的平分线与BC交于点D．求证：
．

23、（10分）选修4－4；坐标系与参数方程

已知曲线C1：
（
为参数），曲线C2：
（t为参数）．

（Ⅰ）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；

（Ⅱ）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线
．写出
的参数方程．
与
公共点的个数和C
公共点的个数是否相同？说明你的理由．

24、（10分）选修
；不等式选讲

设函数
．

（I）解不等式
；（II）求函数
的最小值．

2012—2013学年度下学期北镇高中高二期末考试

数学试题（理科答案）

（2）由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，

即4=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，

又a+b=ab，所以（ab）2﹣3ab﹣4=0，
…（8分）

解得ab=4或ab=﹣1（舍去） …（10分）

所以中奖人数ξ的分布列为
…（11分）

Eξ=0×
+1×
+2×
+3×
=
． …（12分）

19、（I）证明：连结
交
于
,连结
[来源:学*科*网]

因为
为
中点，
为
中点,

所以
,

,
,
,
,…（6分）

因为C、N、E三点共线，可以设
,

则
，得
，又因为

…（9分）

设平面
的法向量为
= (x ,y , z )
,

…（10分）

设平面
的法向量为
= (x ,y , z ),

…（11分）

所以二面角
的大小为
。
…（12分）[来源:学§科§网]

20、解: (1)因为椭圆过点

且

椭圆C的方程是
…（4分）

(2)

由题意,各点的坐标如上图所示, …（6分）

则
的直线方程:

②当
时,令
,得
,
.

,
;
,

.

所以
在
上单调递减,在
上单调递增,

故
在
处取得极小值,且极小值为
,无极大值.

综上,当
时,函数
无极小值;

②当
时,方程(*)化为
.

令
,则有
.

令
,得
,

当
变化时,
的变化情况
如下表: