汉寿一中2013年上学期高二期中考试

数学（理）试题卷

时间：120分钟 分值：150分 命题人：王建辉

一、选择题（每小题5分，共40分）

1、i是虚数单位，计算i＋i2＋i3＝(　　)

A．－1 B．1 C．－i D．i

2．一个物体的运动方程为
其中
的单位是米，
的单位是秒，

那么物体在
秒末的瞬时速度是（ ）

A．
米/秒 B．
米/秒 C．
米/秒 D．
米/秒

3．
,若
,则
的值等于（ ）

A．
B．
C．
D．

4．
与
是定义在R上的两个可导函数，若
,
满足
,则

与
满足（ ）

A．

B．

为常数函数

C．

D．

为常数函数

5．函数
单调递增区间是（ ）

A．
B．
C．
D．

6．二项式(a＋2b)n展开式中的第二项系数是8，则它的第三项的二项式系数为 (　　)．

A．24 B．18 C．16 D．6

7．已知函数
在
上是单调函数,则实数
的

取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

8．对于
上可导的任意函数
，若满足
，则必有（ ）

A．
B.

C.
D.

二、填空题（每小题5分，共35分）

9．方程(2x2－3x－2)＋(x2－5x＋6)i＝0的实数解x＝________.

10．从
中得出的一般性结论是_____________。

11．曲线
在点
处的切线的斜率是_________，切线的方程为

12、由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为

13．从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有________种．

14．函数
在
时有极值
，那么
的值分别为_______

15．设f(x)＝，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值为________．

三、解答题（共6小题，75分）

16．（本小题满分12分）

求垂直于直线
并且与曲线
相切的直线方程。

17、（本小题满分12分）

的三个内角
成等差数列，求证：

18．（本小题满分12分）

已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R.

(1)若a＋b≥0，求证：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；

(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论．

19．（本小题满分13分）

设函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)＋ax(a>0)．

(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为，求a的值．

20．（本小题满分13分）求证：＋＋＋…＋>(n≥2)．

21．（本小题满分13分）

已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－1与x＝2处都取得极值．

(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间；

(2)若对x∈[－2,3]，不等式f(x)＋c

参 考 答 案：

一、选择题 ACDBCDBC

二、填空题 2, n+n+1+n+2+……+3n-2=(2n-1)2

1/e,y=x/e, 1/12, 34,

4,-11, 3

16．解：设切点为
，函数
的导数为

切线的斜率
，得
，代入到

得
，即
，
。

17．证明：要证原式，只要证

即只要证
而

18、

(1)证明：∵a＋b≥0，∴a≥－b.

由已知f(x)的单调性得f(a)≥f(－b)．

又a＋b≥0?b≥－a?f(b)≥f(－a)．

两式相加即得：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．

(2)逆命题：

f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)?a＋b≥0.

下面用反证法证之．

假设a＋b<0，那么：



?f(a)＋f(b)

这与已知矛盾，故只有a＋b≥0.逆命题得证

19、解　函数f(x)的定义域为(0,2)，

f′(x)＝－＋a.

(1)当a＝1时，f′(x)＝，

所以f(x)的单调递增区间为(0，)，

单调递减区间为(，2)．

(2)当x∈(0,1]时，f′(x)＝＋a>0，

即f(x)在(0,1]上单调递增，故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝.

20、[解析]　 [证明]　①当n＝2时，左＝>0＝右，

∴不等式成立．

②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立．

即＋＋…＋>成立．

那么n＝k＋1时，＋＋…＋

＋＋…＋

>＋＋…＋>＋＋＋…＋

＝＋＝，

∴当n＝k＋1时，不等式成立．

据①②可知，不等式对一切n∈N*且n≥2时成立

21、解　(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由题意得

即解得

∴f(x)＝x3－x2－6x＋c，f′(x)＝3x2－3x－6.

令f′(x)<0，解得－1

令f′(x)>0，解得x<－1或x>2.

∴f(x)的减区间为(－1,2)，

增区间为(－∞，－1)，(2，＋∞)．

(2)由(1)知，f(x)在(－∞，－1)上单调递增；

在(－1,2)上单调递减；在(2，＋∞)上单调递增．

∴x∈[－2,3]时，f(x)的最大值即为

f(－1)与f(3)中的较大者．

f(－1)＝＋c，f(3)＝－＋c.

∴当x＝－1时，f(x)取得最大值．

要使f(x)＋cf(－1)＋c，

即2c2>7＋5c，解得c<－1或c>.

∴c的取值范围为(－∞，－1)∪.