北京市东城区（南片）2012-2013学年下学期高二期末考试

数学试卷（理科）

本试卷100分。考试时长120分钟。

第一部分（选择题 共30分）

参考公式：如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）。

如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）。

若（x
，y
），…，（x
，y
）为样本点，
=
+
为回归直线，则

=
，
=

=
=
，
=
－

。

K
=
，其中n=a+b+c+d为样本容量

一、选择题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 函数f（x）=3x－x
的单调增区间是

A. （0，+
） B. （－
，－1） C. （－1，1） D. （1，+
）

2. （x+1）
的展开式中x
的系数为

A. 4 B. 6 C. 10 D. 20

3. 在复平面内，复数6+5i，－2+3i对应的点分别为A，B。若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是

A. 4+8i B. 8+2i C. 4+i D. 2+4i

4. 用数字0，1，2，3组成无重复数字的四位数，这样的四位数的个数为

A. 24 B. 18 C. 16 D. 12

5.
=

A. 1 B. e－1 C. e D. e+1

6. 高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计人数后，得到2×2列联表：则随机变量K
的观测值为

班组与成绩统计表

优秀

不优秀

总计



甲班

11

34

45



乙班

8

37

45



总计

19

71

90



A. 0.600 B. 0.828 C. 2.712 D. 6.004

7. 设随机变量
~N（0，1），若P（
≥1）=p，则P（－1<
<0）=

A. 1－p B. p C.
+p D.
－P

8. 某游戏规则如下：随机地往半径为l的圆内投掷飞标，若飞标到圆心的距离大于
，则成绩为及格；若飞标到圆心的距离小于
，则成绩为优秀；若飞标到圆心的距离大于
且小于
，则成绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为

A.
B.
C.
D.

9. 从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A，B，C，D四项不同的工作，每人承担一项。若甲、乙二人均不能从事A工作，则不同的工作分配方案共有

A. 60种 B. 72种 C. 84种 D. 96种

10. 已知f（x）=x
－6x
+9x－abc，a0；②f（0）f（1）<0；③f（0）f（3）>0；④f（0）f（3）<0。

其中正确结论的序号为

A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④

第二部分（非选择题 共70分）

二、填空题共6小题，每小题3分，共18分。

11. 复数
=______。

12. 已知随机变量X~B（5，
），则E（X）=______，D（X）=_____。

13. 若（x
+
）
的展开式的各项系数之和为32，则n=______；其展开式中的常数项为______。（用数字作答）

14. 已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为
=1.4x+a，则a的值是______。

15. 某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为
，则该队员每次罚球的命中率为_____。

16. 观察下列等式：

C
+C
=2
－2，

C
+C
+C
=2
+2
，

C
+C
+C
+C
=2
－2
，

C
+C
+C
+C
+C
=2
+2
，

…

由以上等式推测到一个一般结论：

对于n∈N
，C
+C
+C
+…+C
=_____。

三、解答题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

17. （本小题8分）

从4名男同学中选出2人，6名女同学中选出3人，并将选出的5人排成一排。

（Ⅰ）共有多少种不同的排法？

（Ⅱ）若选出的2名男同学不相邻，共有多少种不同的排法？

18. （本小题8分）

已知函数f（x）=ax
+bx
+cx+d（a
0），图象关于原点对称，且当x=
时，f（x）的极小值为－1，求f（x）的解析式。

19. （本小题9分）

某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）。现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过4小时。

（Ⅰ）若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为
，停车付费多于14元的概率为
，求甲停车付费恰为6元的概率；

（Ⅱ）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率。

20. （本小题9分）

生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：

测试指标

[70，76）

[76，82）

[82，88）

[88，94）

[94，100]



元件A

8

12

40

32

8



元件B

7

18

40

29

6



 （Ⅰ）试分别估计元件A，元件B为正品的概率；

（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一种元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元，记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望。

21. （本小题9分）

已知a∈Ｒ，函数f（x）=
+lnx－1。

（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；

（Ⅱ）求f（x）在区间（0，e]上的最小值。

22. （本小题9分）

在数列{a
}，{b
}中，a
=2，b
=4，且a
，b
，a
成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列（n∈N
）。

（Ⅰ）求a
，a
，a
和b
，b
，b
，由此猜测{a
}，{b
}的通项公式；

（Ⅱ）证明你的结论；

（Ⅲ）证明：
+
+…+
<



19. （9分）

解：（Ⅰ）设“甲临时停车付费恰为6元”为事件A， 1分

则P（A）=1－（
+
）=
。

所以甲临时停车付费恰为6元的概率是
。 4分

（Ⅱ）解：设甲停车付费a元，乙停车付费b元，其中a，b=6，14，22，30。 5分

则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为：

（6，6），（6，14），（6，22），（6，30），（14，6），（14，14），（14，22），（14，30）。

（22，6），（22，14），（22，22），（22，30），（30，6），（30，14），（30，22），（30，30）。

共16种情形。 8分

其中，（6，30），（14，22），（22，14），（30，6）这4种情形符合题意。

故“甲、乙二人停车付费之和为36元”的概率为P=
=
。 9分

20. （9分）

解：（Ⅰ）元件A为正品的概率约为
=
。 1分

元件B为正品的概率约为
=
。 2分

（Ⅱ）随机变量X的所有取值为90，45，30，－15。 3分

P（X=90）=
×
=
P（X=45）=
×
=
；

P（X=30）=
×
=
P（X=－15）=
×
=
7分

所以，随机变量X的分布列为：

X

90

45

30

－15



P











 EX=90×
+45×
+30×
+（－15）×
=66。 9分

21. （9分）

解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=
+lnx－1，x∈（0，
），

所以：f′（x）=－
+
=
，x∈（0，
）。 1分

因此f′（2）=
。

即曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为
。

又f（2）=ln2－
，

所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y－（ln2－
）=
（x－2），

即x－4y+4ln2－4=0。 3分

（Ⅱ）因为f（x）=
+lnx－1，所以f′（x）=－
+
=
，x∈（0，+
）。

令f′（x）=0，得x=a。 4分

①若a≤0，则f′（x）>0，f（x）在区间（0，e]上单调递增，此时f（x）无最小值。

②若0

当x∈（a，e]时，f′（x）>0，f（x）在区间（a，e]上单调递增，

所以当x=a时，f（x）取得最小值lna。 6分

③若a≥e，则当x∈（0，e]时，f′（x） ≤0，f（x）在区间（0，e]上单调递减，

所以当x=e时，f（x）取得最小值
。 8分

综上可知，当a≤0时，f（x）在区间（0，e]上无最小值；

当0

当a≥e时，f（x）在区间（0，e]上的最小值为
。 9分

22. （9分）

（Ⅰ）解：由已知得2b
=a
+a
，a

=b
·b
。

由此可得a
=6，a
=12，a
=20，b
=9，b
=16，b
=25。

猜测a
=n（n+1），b
（n+1）
。 3分

（Ⅱ）用数学归纳法证明：

①当n=1时，由（Ⅰ）可得结论成立。

②假设当n=k时，结论成立，即a
=k（k+1），b
=（k+1）
。

那么当n=k+1时，a
=2b
－a
=2（k+1）
－k（k+1）=（k+1）（k+2），

b
=
=（k+2）
。

所以当n=k+1时，结论也成立。

由①②可知a
=n（n+1），b
=（n+1）
对一切正整数都成立。 6分

（Ⅲ）证明：
=
<
。

n≥2时，由（Ⅰ）知a
+b
=（n+1）（2n+1）>2（n+1）n。

故
+
+…+
<
+
[
+
+…+
]

=
+
（
－
+
－
+…+
－
）

=
+
（
－
）<
+
=
。 9分