2013-2014学年度上学期期末考试

高二数学（文）试题【新课标】

一、选择题：（每题5分，共60分）

1. 若复数
是虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为( )

A．-3 B．3 C．-6 D．6

2. 用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a、b、c中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是( )

A．假设a、b、c都是偶数 B．假设a、b、c都不是偶数

C．假设a、b、c至多有一个偶数 D．假设a、b、c至多有两个偶数

3. 分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0”，求证

“<a”索的因应是( )

A．a－b>0 B．a－c>0

C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<04．

4. 给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：

①“若a，b∈R，则a－b＝0?a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0?a＝b”；

②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d?a＝c，b＝d”；

③若“a，b∈R，则a－b>0?a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0?a>b”．

其中类比结论正确的个数是( )

A．0 B．1 C．2 D．3

5．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是( )

A．① B．② C．③ D．①和②

6．复数
( )

A．
B．
C．
D．

7. 函数
的单调递增区间是( )

A.
B. (0,3) C. (1,4) D.

8. 抛物线
的焦点坐标是( )

A．
B．
C．
D．

9. 设双曲线
的虚轴长为2，焦距为
，则双曲线的渐近线方程为( )

A.
B.
C.
D.

10. 设函数
在区间[1，3]上是单调函数，则实数a的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

11. 为了表示个点与相应直线在整体上的接近程度，我们常用( )表示

A.
B.
C.
D.

12. 过双曲线
的左焦点
作圆
的切线，切点为E，延长FE交抛物线
于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为( )

A．
B．
C．
D．

二、填空题：（每题5分，共20分）

13．双曲线
的一个焦点是
，则m的值是_________.

14．曲线
在点(1,3)处的切线方程为___________________.

15. 已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线的方程是________________.

16. 设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为_______________________________．

三、解答题：

17.（本题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2,2)，其焦点F在x轴上．

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)设直线l是抛物线的准线，求证：以AB为直径的圆与准线l相切．

18.（本题满分12分）

某校为了探索一种新的教学模式，进行了一项课题实验，乙班为实验班，甲班为对比班，甲乙两班的人数均为50人，一年后对两班进行测试，成绩如下表（总分：150分）：

甲班

成绩













频数

4

20

15

10

1



 乙班

成绩













频数

1

11

23

13

2





（1）现从甲班成绩位于
内的试卷中抽取9份进行试卷分析，请问用什么抽样方法更合理，并写出最后的抽样结果；

（2）根据所给数据可估计在这次测试中，甲班的平均分是101.8，请你估计乙班的平均分，并计算两班平均分相差几分；

（3）完成下面2×2列联表，你认为在犯错误的概率不超过0.025的前提下， “这两个班在这次测试中成绩的差异与实施课题实验有关”吗？并说明理由。

成绩小于100分

成绩不小于100分

合计



甲班



26

50



乙班

12



50



合计

36

64

100



 附：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001





2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828





19.（本题满分12分）

已知函数
，其图象在点（1，
）处的切线方程为

（1）求a，b的值；

（2）求函数
的单调区间，并求出
在区间[—2，4]上的最大值。

20.（本题满分12分）

已知椭圆
的离心率为
，椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6。

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线
与椭圆C交于A、B两点，点P（0，1），且|PA|=|PB|，求直线
的方程。

21.（本题满分12分）已知函数
，

（1）若
，求
的单调区间；

（2）当
时，求证：
．

22.（本题满分12分）

某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是
元，销售价是
元，月平均销售件．通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为
，那么月平均销售量减少的百分率为
．记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是（元）．

（1）写出与的函数关系式；

（2）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．

参考答案

一．选择题：BBCCB ADACC DD

二．填空题：13，-2； 14，2x-y+1=0； 15。Y=1.23x+0.08; 16,f(
)≥

三.解答题:

17.解：(1)设抛物线y2＝2px(p>0)，将点(2,2)代入得p＝1.

∴y2＝2x为所求抛物线的方程．

(2)证明：设lAB的方程为：x＝ty＋，代入y2＝2x得：y2－2ty－1＝0，设AB的中点为M(x0，y0)，则y0＝t，x0＝.

∴点M到准线l的距离d＝x0＋＝＋＝1＋t2.又AB＝2x0＋p＝1＋2t2＋1＝2＋2t2，∴d＝AB，故以AB为直径的圆与准线l相切．

(1)用分层抽样的方法更合理；在
，各分数段抽取4份，3份，2份试卷。

（2）估计乙班的平均分数为

105.8-101。8=4，即两班的平均分数差4分。

所以，在犯错误的概率不超过0。025的前提下，认为两个班的成绩有差异。

J解：（1）
，由题意得。
得：

A=-1 b=

（2）
得：x=1或x=0，有列表得，

而f（-2）=-4，f（4）=8，所以，f（x）的最大值为8

20.解：（I）由已知
，解得

所以椭圆C的方程为

（III）由
，

直线与椭圆有两个不同的交点，所以

解得

设
，

则

计算

所以，A，B中点坐标为

因为|PA|=|PB|，所以PE⊥AB，

所以
，解得
，经检验，符合题意，

所以直线l的方程为

21.解：（1）
，

∵
，∴当
时，
，当
时，
，

∴
的增区间为
，减区间为

（2）令

则由
解得

∵
在
上增，在
上减

∴当
时，
有最小值，

∵
，∴
，

∴
，所以

22.解:（Ⅰ）改进工艺后，每件产品的销售价为
，月平均销售量为
件，则月平均利润
（元），

∴与的函数关系式为

（Ⅱ）由
得
，
（舍）

当
时
；
时
，∴函数

在
取得最大值．

故改进工艺后，产品的销售价为

元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．