2013-2014学年度上学期期中考试

高二数学（理）试题【新课标】

一．单选题（每小题5分，共60分，其中只有一个答案是正确）

1. “
”是“
”的( ）

A．充分而不必要条件　　　 　B.必要而不充分条件

C．充要条件 D.既不充分也不必要条件

2．已知命题p：?x∈R，x>sinx，则p的否定形式为(　　)

A．?x∈R，x

C．?x∈R，x≤sinx D．?x∈R，x

3．在各项都为正数的等比数列
中，首项
，前三项和为21，则
（ ）

A．33 B．72 C．84 D．189

4. 已知变量x、y满足
，则
的最大值为（ ）

A．16 B．8 C．6 D．4

5. 已知数列｛an｝的前n项和
，那么它的通项公式为
=( )

A.
B.

C.
D.

6．下列说法中，正确的是(　　)

A．命题“若am2

B．已知x
，则“x2-2x-3=0”是“x=3”的必要不充分条件

C．命题“p∨q”为真命题，则“命题p”和“命题q”均为真命题

D．已知x∈R，则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件

7. 已知等差数列{an}满足a2+a4=4, a3+a5=10,则它的前10项和为（ ）

A．138 B．135 C．95 D．23

8．已知椭圆的两个焦点坐标分别为（0，-2），（0，2），并且经过点
，则椭圆的方程是( )

A．
B．

C．
D．

9．已知x>0, y>0,
,则x+y的最小值为( )

A.6 B.12 C.18 D.24

10. 在R上定义运算
：
，若不等式
对任意实数成立，则a的取值范围为（ ）

A．
　B．
　

C．
　　D．

11．设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）

A．
B．
C．
D．

12．各项均不为零的等差数列
中
，则
等于（ ）

A．4024 B．4018 C．2009 D．1006

二.填空题（每小题5分，共20分）

13. 若
则
的最小值是_________.

14．在公差不为0的等差数列
成等比数列，则该等比数列的公比 .

15．已知
，且
，若
恒成立，则实数的取值范围是______.

16．过椭圆
的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，求弦AB的长_______.

三.解答题(6道题，共70分)

17．（本小题满分10分）

已知点A（3，0）为圆x2+y2=1外一点，P为圆上任意一点，若AP的中点为M，当P在圆上运动时，求点M的轨迹方程。并说明它表示什么曲线。

18．（本小题满分12分）

已知命题p：“?x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“?x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．

19．（本小题满分12分）

动物园要围成面积相同的长方形虎笼四间，一面可利用

原有的墙，其它各面用钢筋网围成.

（1）现有可围36m长的钢筋网的材料，每间虎笼的长、

宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？

（2）若使每间虎笼的面积为24m2,则每间虎笼的长、宽各

设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？

20．（本小题满分12分）

等比数列{an}的各项均为正数，且
。

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
，求数列
的前项和．

21．(本小题满分12分)

设{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有的n N+，都有
。

（1）写出数列{an}的前3项；

（2）求数列{an}的通项公式(写出推证过程)；

（3）设
，
是数列{bn}的前n项和，求使得
对所有n N+都成立的最小正整数的值。

22．（本小题满分12分）

已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为
的椭圆过点（
，
）．

（1）求椭圆的方程；

（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．

参考答案

一．BCCDA， BCDCD，DA

二．13．3 14。
15。（-4，2） 16。

17．（10分）

18．（12分）解：由“p且q”是真命题，则p为真命题，q也为真命题．

若p为真命题，a≤x2恒成立，

∵x∈[1,2]，∴a≤1. …………………5分

若q为真命题，即x2＋2ax＋2－a＝0有实根，

Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2，…………………10分

综上，实数a的取值范围为a≤－2或a＝1. …………………12分

19. （12分） 解：（1）设每间虎笼的长xm,宽ym, 则4x+6y=36,设每间虎笼面积为S，则S=xy

18=2x+3y≥2
, xy≤
,当且仅当2x=3y时，等号成立，2x+3y=18,x=4.5m ,y=3m时，等号成立。

故每间虎笼的长和宽分别为4.5m和3m时，可使面积最大。…………………6分

（2）设每间虎笼长为xm,宽为ym, S=xy=24, x=
,

L=4x+6y=
,当且仅当
，y=4,x=6

故每间虎笼长6m,宽4m时，可使钢筋网总长最小。…………………12分

20．（12分）（1）
…………………6分

（2）
…………………12分

21. （12分）解:(1) n=1时
∴

n=2时
∴

n=3时
∴
…………4分

(2)∵
∴

两式相减得:
即

也即

∵
∴
即
是首项为2,公差为4的等差数列

∴
。………… 8分

(3)

∴

∵
对所有
都成立 ∴
即

故m的最小值是10 . …………12分

22．（12分）解：（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为
（a＞b＞0），

则
故
，所以，椭圆方程为
． ………6分

（Ⅱ）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，

故可设直线l的方程为 y＝kx＋m （m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），

由
消去y得（1＋4k2）x2＋8kmx＋4（m2－1）＝0，

则△＝64 k2b2－16（1＋4k2b2）（b2－1）＝16（4k2－m2＋1）＞0，

且
，
．……………8分

故 y1 y2＝（kx1＋m）（kx2＋m）＝k2x1x2＋km（x1＋x2）＋m2．

因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，

所以，
＝
＝k2，

即，
＋m2＝0，又m≠0，所以 k2＝
，即 k＝
．

由于直线OP，OQ的斜率存在，且△＞0，得0＜m2＜2 且 m2≠1．

设d为点O到直线l的距离，

则 S△OPQ＝
d | PQ |＝
| x1－x2 | | m |＝
，

所以 S△OPQ的取值范围为 （0，1）． ……………12分