2013-2014学年度上学期第四次月考

高二数学（理）试题【新课标】

第I卷（选择题 共60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分

1．命题“存在
R，

0”的否定是（ ）

A．不存在
R,
>0 B．存在
R,

0

C．对任意的
R,

0 D．对任意的
R,
>0

2．平面内有定点A、B及动点P，设命题甲是“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，那么甲是乙的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3. 在△ABC中，若
，则△ABC的形状是（ ）

A 直角三角形 B 等腰或直角三角形 C 不能确定 D 等腰三角形

4．在
中,
分别是三内角
的对边,
的面积。若向量
，
满足
, 则∠C= （ ）

A．
. B．
C．
D．

5．椭圆
上一点
与椭圆的两个焦点
、
的连线互相垂直，则△
的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

6．已知△
的三边长成公差为
的等差数列，且最大角的正弦值为
，则这个三角

形的周长是 （ ）

A．
B．
C．
D．

7. 下列函数中，最小值是4的是（ ）

A.
B.

C.
，
，
　D.

8..在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是( )

A．b＝7，c＝3，C＝30° B．b＝5，c＝4
，B＝45°

C．a＝6，b＝6
，B＝60° D．a＝20，b＝30，A＝30°

9．锐角
中,
分别是三内角
的对边,设
,则
的取值范围（ ）

A．
B．
C．
D．

10．若直线
与双曲线
的右支交于不同的两点，

那么
的取值范围是（ ）

A．（
） B．（
） C．（
） D．（
）

11．若椭圆
和双曲线
有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的交点，则
的值是（ ）

A．
B．
C．
D．

12．椭圆

与圆
（
为椭圆半焦距）有四个不同交点，则椭圆离心率
的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13．在等差数列{an}中，Sn表示前n项和，a2＋a8＝18－a5，则S9＝________

14．已知
，若
恒成立，则实数
的取值范围是 .

15．双曲线
的一条渐近线与直线
垂直，则这双曲线的离心率为___。

16．若直线
与抛物线
交于
、
两点，若线段
的中点的横坐标是
，则
______。

三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10）已知数列
的前n项和

（1）求数列
的通项公式；

（2）若
的前
项和

18．（12分）给定两个命题,
：对任意实数
都有
恒成立；
：关于
的方程
有实数根；如果
与
中有且仅有一个为真命题，求实数
的取值范围．

19. 在
中,角
、
、
所对的边是
，且

（1）求
的值； （2）若
，求
面积的最大值.

20（12分）（1）求直线
被双曲线
截得的弦长；

（2）求过定点
的直线被双曲线
截得的弦中点轨迹方程。

科_网

21（12分） 已知圆锥曲线C经过定点P（3，
），它的一个焦点为F（1，0），对应于该焦点的准线为x=－1，斜率为2的直线
交圆锥曲线C于A、B两点，且 |AB|=
，求圆锥曲线C和直线
的方程。

22．（本小题满分12分）

定义：离心率
的椭圆为“黄金椭圆”，已知椭圆
的两个焦点分别为
、
（c>0）,P为椭圆
上的任意一点.

（1）试证：若
不是等比数列，则
一定不是“黄金椭圆”；

（2）设
为“黄金椭圆”，问：是否存在过点
、
的直线
，使
与
轴的交点R满足
?若存在，求直线
的斜率k；若不存在，请说明理由；

（3）设
为“黄金椭圆”, 点M是⊿
的内心, 连接PM并延长交
于
,求
的值.

参考答案

一、选择题：DBBA DDDC DDDA

二，填空题：本大题共4小题，每小题5分．

(13 ) 54. (14)
(15)
(16)

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17.

18．解：对任意实数
都有
恒成立

；关于
的方程
有实数根
；如果P正确，且Q不正确，有
；如果Q正确，且P不正确，有
．所以实数
的取值范围为
．

19. （1）
……（2分）

……（4分）

……（6分）

(2)由
得：
……（7分）

（当且仅当
时取“=”号）

……（10分）

故：
面积的最大值为
……（12分）

20解析：由

得
得
（*）

设方程（*）的解为
，则有
得，

（2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为
，它被双曲线截得的弦为
对应的中点为
，

由
得
（*）

设方程（*）的解为
，则
，

∴
，

且
，

∴
，

得
或
。

方法二：设弦的两个端点坐标为
，弦中点为
，则

得：
，

∴
， 即
， 即
（图象的一部分）

21．解：设圆锥曲线C的离心率为e, P到
的距离为d，则e=
…………(1分) ∴圆锥曲线C是抛物线………………………（2分）

∵
∴P=2

∴抛物线方程为y2=4x………………………………(3分)

设
的方程为y=2x+b,A(x1y1),B(x2,y2)

由y=2x+b

y2=4x 消去y，整理得：4x2+4(b－1)x+b2=0………………………………(4分)

则 x1+x2=－(b－1)

x1x2=
…………………………(5分)

∴|AB|=
………………………（6分）

又∵|AB|=

∴1－2b=9, ∴b=－4 …………………………(7分)

故直线
的方程为y=2x－4……………………………………(8分)

综上所述：圆锥曲线C的方程为y2=4x，直线
的方程为y=2x－4

22．（12分）解：（1）假设
为黄金椭圆，则
………（1分）

………………（3分）

即
成等比数列，与已知矛盾，故椭圆
一定不是“黄金椭圆”.……（4分）

（2）依题假设直线
的方程为
令
，即点
的坐标为

，点
，
点
的坐标为
…………（6分）

点
在椭圆上，

故
，与
矛盾.所以，满足题意的直线不存在.……（8分）

（3）连接
,
,设⊿
的内切圆半径为r.

则

即
=

=
=
所以
……（10分）

所以

……（12分）