福建省安溪一中、养正中学、惠安一中

2012—2013学年度下学期期末联考

高二数学理试题

参考公式：1.

第Ⅰ卷 (选择题 共50分)

一、选择题：（本小题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案涂在答题卡的相应位置.）

1． 若复数
是实数，则x的值为( )

A. -3 B. 3 C. 0 D.

2.两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为
和
，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件恰好有一个一等品的概率为（ ）

A.
B.
C.
D.

3．在对我市高中学生某项身体素质的测试中，测试结果
服从正态分布
）
，若
在（0，2）内取值的概率为0.8，则
在（0，1）内取值的概率为（ ）

A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D.0.3

4．设
是函数
的导函数，将

和

的图像画在同一个直角坐标系中，不可能的是（　　）

5．如图，正方形的四个顶点为
，曲线
经过点
。现将一质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

6．
的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）

A．-40 B．-20 C．20 D．40

7．某展览会一周(七天)内要接待三所学校学生参观，每天只安排一所学校，其中甲学校要连续参观两天，其余学校均参观一天，则不同的安排方法有( )

A．210种 B．50种 C．60种 D．120种

8．已知函数
，若函数
在(0,1)上单调递增，则实数
的取值范围是(　　)

A．
B．
C．
D．

9.观察下列各式：则
，…，则
的末两位数字为（ ）

A.01 B.43 C.07 D.49

10．若在曲线
(或
)上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线
(或
)的自公切线，下列方程的曲线:①
②

③
④
存在自公切线的是( )

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置

11. 设某种动物由出生算起活到10岁的概率为0.9，活到15岁的概率为0.6。现有一个10岁的这种动物，它能活到15岁的概率是 。

12.已知某一随机变量X的概率分布列如下，且E（X）=7，求D（X）= 。

X

a

5

9



P

0.1

0.3

b



13．若
既有极大值又有极小值，则
的取值范围是

4



1

2

3



5



14．编号为A、B、C、D、E的五个小球放在如右图所示的

五个盒子中，要求每个盒子只能放一个小球，且A不

能放1，2号，B必需放在与A相邻的盒子中，则不同

的放法有 种

15．已知命题：若数列
为等差数列，且
则
，现已

知等比数列

若类比上述结论，则可得到
=

三、解答题:本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分13分）选修4—2矩阵与变换

（Ⅰ）已知矩阵
＝
所对应的线性变换把直线
变换为自身，求
。

（Ⅱ）已知
是矩阵B=
属于特征值
=2的一个特征向量，求矩阵B及其另一个特征值及其对应的一个特征向量。

17．（本小题满分13分）

在对人们休闲方式的调查中。现随机抽查了
个人，已知男性占总调查人数的
，女性占总调查人数的
，其中男性有一半的休闲方式是运动；而女性只有
的休闲方式是运动，经过调查人员的计算：在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为休闲方式与性别有关，那么被调查的人中最少有多少人的休闲方式是运动？

参考数据与公式：

，其中
．

临界值表：

（
）

0.10

0.05

0.010





2.706

3.841

6.635





18．（本小题满分13分）

某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：

月份x

1

2

3

4

5



y（万盒）

4

4

5

6

6





（Ⅰ）该同学为了求出y关于x的线性回归方程
，根据表中数据已经正确计算出
，试求出
的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数；

（Ⅱ）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题，记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ，求ξ的分布列与数学期望。

19．（本小题满分13分）

已知函数
在
取得极值。

（Ⅰ）确定
的值并求函数的单调区间;

（Ⅱ）若关于
的方程
至多有两个零点，求实数
的取值范围。

17.解：设总调查人数为
人，则被调查的男性人数应为
，其中有
人的休闲方式是运动；被调查的女性人数应为
，其中有
人的休闲方式是运动，-------3分

列出
列联表如下：

运动

非运动

总计



男









女









总计











由表中数据得到，
-8分

要能在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为性别与休闲方式有关，则
，-------10分即
，解得
，又
,且
，所以
-------13分

18.解：（1）
=
=3，
=
=5，

线性回归方程必过点
，

所以6月份的生产甲胶囊的产量数：
…………5分

（2）随机变量ξ的可能取值为
，
，
，3． ……………………………6分

10

故ξ的分布列为：

ξ

0

1

2

3



P












13分

19.解（Ⅰ）因为
， 所以

因为函数
在
时有极值 ， 所以
，即
3分

得
, 经检验符合题意，所以

所以
令，
得，
或

当
变化时
，
变化如下表：





























单调递增↗

极大值

单调递减↘

极小值

单调递增↗





所以
的单调增区间为
，
；
的单调减区间为
。7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当
时，
有极大值，并且极大值为
；当
时，
有极小值，并且极小值为
；结合函数
的图象，要使关于
的方程
至多有两个零点，则
的取值范围为
。13分

所以满足条件
的事件的概率为
.……………（14分）

方法二：基本事件的总数为

满足条件
的有如下各种情况：

①满足
时，
的事件数为：
……………………（9分）

②满足
时，
的事件数为：
……………………（10分）

③满足
时，
的事件数为：
……………………（11分）

④满足
时，
的事件数为：
……………………（12分）

所以

…（14分）

当
时，
故

所以
<0 得g(x)在
是减函数，

∴g(x)>g(0)=f(0)-2=0 ∴
>0,即
>0

得
>