哈三中2012-2013学年度下学期

高二期末考试数学试卷（理工类）

考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，

考试时间120分钟．

（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；

（2）选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；

（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；

（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1．设集合
,
，则
等于

A．
B．
C．
D．

2．复数
的实部是

A．
B．
C．
D．

3. 已知函数
，则
是
的

A. 充要条件 　 B. 充分非必要条件

C. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件

4. 已知命题
：“
”，则命题
的否定为

A.
B.

C.
D.

5．某种产品的广告费支出
与销售额
（单位：百万元）之间有如下对应数据：




[























根据上表提供的数据，求出
关于
的回归直线方程为
，则
的值为

A．
B．
C．
D．

6. 利用数学归纳法证明
（
）时，从
到
，不等式左边需要添加的项共有

A.
项 B.
项 C.
项 D.
项

7. 一个算法的程序框图如右图所示，若该程序输出的

结果为
，则判断框内应填入的条件是

A．
？

B．
？

C．
？

D．
？

8.若正实数
满足
，则下列说法不正确的是

A.
有最小值
　　 B.
无最大值

C.
无最值 D．
有最小值

9. 关于
的不等式
的解集为

A.
B.
C.
D.

10.某同学使用类比推理得到如下结论：

（1）同一平面内，三条不同的直线
，若
，则
，类比出：空间中，三条不同的直线
，若
，则
；

（2）
则
，类比出：
则
；

（3）以点
为圆心，
为半径的圆的方程是
，类比出：以点
为球心，
为半径的球的方程是
；

（4）正三角形
中，
是
的中点，
是△
外接圆的圆心，则
，类比出：在正四面体
中，若
是△
的三边中线的交点，
为四面体
外接球的球心，则
．

其中类比的结论正确的个数是

A.
B.
C.
D.

11.关于函数
，给出下列四个判断：

①
的解集是
；②
有极小值也有极大值；

③
无最大值，也无最小值；④
有最大值，无最小值．

其中判断正确的是

A. ①②③ B.①②④ C. ②③ D. ①④

12. 已知实数
满足
，若不等式
对于满足上述条件的实数
恒成立，则实数
的最小值为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题后的横线上．）

13. 已知复数
满足
，则
等于 ．

14. 某程序如右图，则运行后输出的结果为 ．

15.观察下列式子：
……，则可以猜想：对任意的正整数
，都有 ．

16.若函数
在
上有最小值，则实数
的取值范围为 ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17.（本小题满分10分）

如图，一块矩形铁皮的长为
，宽为
,在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子的容积最大？并求其最大值．

18.（本小题满分12分）

若
，且
．求证：

（Ⅰ）
； （Ⅱ）
．

19.（本小题满分12分）

已知某校5个学生的数学和物理成绩如下表：

学生的编号

1

2

3

4

5



数学

80

75

70

65

60



物理

70

66

68

64

62



（Ⅰ）通过大量事实证明发现，学生的数学成绩和物理成绩具有很强的线性相关关系，用
表示数学成绩，用
表示物理成绩，根据上述表格求
与
的回归方程；

（Ⅱ）利用残差分析回归方程的拟合效果，若残差和在
范围内，则称回归方程为“优拟方程”，问：该回归方程是否为“优拟方程”？

参考公式和数据：

回归直线方程：
，其中
，
；

,

残差和公式为：
．

20.（本小题满分12分）

数列
中，
，当
时，满足
，且设

求证：数列
各项均为3的倍数．

21.（本小题12分）

某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示30人的饮食

指数．（说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主，饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主．）

（Ⅰ）根据茎叶图，帮助这位学生说明其亲属30人的饮食习惯；

（Ⅱ）根据以上数据完成下列
的列联表；

主食蔬菜

主食肉类

合计



50岁以下









50岁以上









合计









（Ⅲ）能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关，并写出简要分析．

附：

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001





1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828





22.（本小题满分12分）

已知函数

（Ⅰ）讨论函数
的单调性；

（Ⅱ）设
，如果对任意的
，
，

求
的取值范围．