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2013年重庆一中高2014级高二下期期末考试

数 学 试 题 卷（理科） 2013.7

数学试题共4页．满分150分．考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的性名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．

3.答非选择题时，必须使用0. 5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．

一：选择题（每题5分，共50分）

1．在复平面内，复数
对应的点的坐标为（ ）

A．（0，1） B．（0，－1） C．（
，－
） D．（
，
）

2.设随机变量
服从正态分布
.若
，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

3．
的展开式中各项系数的和为2, 则
的值为 (　　)

A．2 B．-2 C．1 D．-1

4.平面直角坐标系
中,曲线
的参数方程为
,以原点
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
则
与
的位置关系是( )

A．相交　　 　B．相切　 　　 C．相离　　
D．视
的大小而定

5.在2013年3月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价
元和销售量
件之间的一组数据如下表所示：

价格

9

9.5

10

10.5[来源:Zxxk.Com]

11



销售量

11

10

8

6

5



由散点图可知，销售量
与价格
之间有较好的线性相关关系，其线性回
归直线方程是：
，那么
的值为 (　　)

A．－24 　 B．35.6 C．40.5 　 D．40

6.（原创）在五云山寨某天的活动安排中，有钓鱼，烧烤，野炊，拓展训练，消防演练共五项活动可供选择，每班上下午各安排一项，且同一时间内每项活动都只允许一个班参加。则该天A,B两个班的活动安排共有多少种（ ）

A．260 B．120 C．100 D．45

7．(原创)一个口袋中装有大小相同1个红球和3个黑球，现在有3个人依次去每个人摸出一个球，然后放回，若某两人摸出的球的均为红色，则称这两人是“好朋友”，记A=“有两人好朋友”，B=“三人都是好朋友”，则
（ ）

A.

B.
C.
D.

8．某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同一个常数.

（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°

（2）sin218°+cos212°-sin18°cos12°

（3）sin2（-18°）+cos248°- sin2（-18°）cos248°

（4）sin2（-25°）+cos255°- sin2（-25°）cos255°

则这个常数为（ ）

A.
B.

C.1 D.0

9.（原创）下图是某个闭合电路的一部分，每个元件正常工作的概率为
，则从A到B这部分电路能正常工作的概率为（ ）

A.
B.
C.
D.

10.（原创）如图所示有五个岛屿，现决定修4座桥将这五个岛都连接起来，不同的修桥方案有多少种 (　　)

A．115种 B．125种 C．135种 D．145种

[来源:学#科#网]

二：填空题（每题5分，共25分）

11．在
的二项展开式中,常数项等于_______.

12.若
随机变量
，则

13.已知
是圆
的切线，切点为
，
，
是圆
的直径，
与圆
交于点
，
，则圆
的半径
的长为________．

14．已知
，则
的最大值为_______.

15．（原创）极坐标方程
，可以转化为平面直角坐标方程
，该式子可以解释为：点
到原点的距离与到
的距离之比为
，根据圆锥曲线的定义可以得到：
表示一个以原点为其中一个焦点，以
为
对应准线的圆锥曲线。如图：过椭圆
的左焦点
作
等分
(
分别为椭圆的左右顶点)，记
到左准线的距离分别为
，则
．

三：解答题（共75分）

16．（本题满分13分）电视台为了解某小区居民对春节晚会的关注情况，组织了一次抽样调查
，下面是调查中的其中一个方面：

看直播

看重播

不看



男性

405

270

135



女性

120

113

90



（1）用分层抽样的方法从“不看”问卷中抽取一个容量为
的样本，将该样本看成一个总体，从中任取
份，求至少有
份是女性问卷的概率；

（2）现从男性居民的问卷中每次抽取1份问卷出来，然后放回，共抽取5次，求这5次中恰好有3次抽到看过春节晚会问卷的概率．

17．（本题满分13分）函数
在

处的切线方程为

（1）求
；

（2）求
的最小值．

18．（本题满分13分）已知关于
的不等式
．

（1）当
时，求此不等式的解集；

（2）若此不等式的解集为
，求实数
的取值范围．

19．（本题满分12分）已知数列
是等差数列，且
是
展开式的前三项的系数.

（1）求
展开式的中间项；

（2）试比较
与
的大小．

20．（原创）（本题满分12分）甲乙两人相约打靶，甲射击3次，每次射击的命中率为
，乙射击2次，每次射击的命中率为
，记甲命中的次数为
，乙命中的次数为

（1）求
的分布列和

（2）猜想两个相互独立的变量
的期望与
的期望间的关系，并证明你的猜想．





……

















其中，
的分布列为：

[来源:学,科,网Z,X,X,K]





……



















的分布列为:

21.（本题满分12分）已知数列
各项均不为0，其前
项和为
，且对任意
都有
（
为大于1的常数），记
．

(1) 求
；

(2
)
求证：
，（
）．

命题人：梁 波

审题人：黄 艳

2013年重庆一中高201
4级高二下期期末考试

数 学 答 案（理科） 2013.7

一：选择题

BDCBD，AAADB

二：填空题

11．
； 12. 10 ； 13. ；14.
； 15．

三：解答题（共75分）

16．（本题满分13分）

解答： （1）
;

(2)

17．（本题满分13分）

解答：（1）因为

易知

（2）
，

所以：当
时
单调递减；当
时
单调递增。

的最小值为

18．（本题满分13分[来源:学科网ZXXK]

解答：（Ⅰ）解：当
时， 不等式为
.

由绝对值的几何意义知，不等式的意义可解释为数轴上的点
到1，2的距离之和大于

于2.∴

或
∴不等式的解集为
.

（Ⅱ）解：∵
，

∴原不等式的解集为R等价于
， ∴
或
，又
，

∴
.

19．（本题满分12分）

解答：（Ⅰ）
依题意
，
，
，由
可得
（舍去），或

所以
展开式的中间项是第五项为：
；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
,

当
时，

当
时，

当
时，

猜测：当
时


，

以下用数学归纳法加以证明：

①
时，结论成立，

②设当
时，
，

则
时，

综合①②可得，当
时，

当
时，

20．（原创）（本题满分12分）

解答：（1）
的分布列为：

0

1

2

3

4

5








[来源:学&科&网]













=

（2）猜想：
=

证明：因为

21.（本题满分12分）

解答：(1) ∵
， ①

∴
． ②

②－①，得

，即
．

在①中令
，可得
．

∴
是首项为
，公比为
的等比数列，
．

(2) 由(1)可得
．

．

∴

，

当
，
时，

．

∵
，∴
．

∴
，（当且仅当
时取等号）．

∴
．（当且仅当
时取等号）．

综上所述，
，（
）．

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