高二下学期期末考试数学（理）试题

一、选择题（5×10 = 50）　　

1.设三次函数
的导函数为
，函数
的图象的一部分如图所示，则正确的是 （ ）

A.
的极大值为
，极小值为

B.
的极大值为
，极小值为

C.
的极大值为
，极小值为

D.
的极大值为
，极小值为

2.如图，边长为2的正方形内有一不规则阴影部分，随机向正方形内投入200粒芝麻，恰有60粒落入阴影部分，则不规则图形的面积为（ ）

A.
B.
C.
D.

3.曲线
的一条切线
与直线
垂直,则
的方程为（ ）

A.
B.

C.
D.

4.函数
的递减区间是（ ）

A.
或
B.
C.
或
D.

5.在某项体育比赛中，八位裁判为一选手打出的分数如下：

90 89 90 95 92 94 93 90

求此数据的众数和中位数分别为 （ ）

A．90，91 B． 90 , 92 C．93, 91 D． 93 , 92

6.下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量
(吨)与相应的生产
根据上表提供的数据，求出
关于
的线性回归方程为
，那么表中
的值为

A. 3 B. 3. 15 C. 3.5 D. 4.5

7.若方程
在
内有解，则
的图象是（ ）

8.圆
的圆心坐标是（ 　）

A.
B.
C.
D.

9.在同一坐标系中，将曲线
变为曲线
的伸缩变换是（ ）

10.已知
，
是由直线
，
和曲线
围成的曲边三角形区域，若向区域
上随机投一点，点落在区域
内的概率为
，则
的值是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

二、填空题（4×5 = 20）

11.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球2次（每次罚球结果互不影响）的得分的数学期望是 ；

12.如图是甲、乙两班同学身高（单位：cm）数据的茎叶图，若从乙班身高不低于170cm的同学中随机抽取两名，则身高为173cm的同学被抽中的概率为 ．

甲班 乙班

2 18 1

9 9 1 0 17 0 3 6 8 9

8 8 3 2 16 2 5 8

8 15 9

13. 已知点
是曲线
上任意一点，则点
到直线
的距离的最小值是 ；

14. 若以直角坐标系的
轴的非负半轴为极轴，曲线
的极坐标系方程为


，直线
的参数方程为
（
为参数），则
与
的交点A的直角坐标是 ；

15.设随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y≥1)＝____ ____.

三、解答题

16. （本题满分13分）某市职教中心组织厨师技能大赛，大赛依次设基本功（初赛）、面点制作（复赛）、热菜烹制（决赛）三个轮次的比赛，已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是
，
，
且各轮次通过与否相互独立．

（I）设该选手参赛的轮次为
，求
的分布列和数学期望；

（Ⅱ）对于（I）中的
，设“函数
是偶函数”为事件D，求事件D发生的概率．

17. （本小题满分13分）

已知函数
，其中
为正实数，
是
的一个极值点.

（Ⅰ）求
的值； （Ⅱ）当
时，求函数
在
上的最小值.

18.（本题满分13分）某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校学生会的干部竞选．

（1）设所选3人中女生人数为
，求
的分布列及数学期望；

（2）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．

19.某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是
，样本数据分组为
，
，
，
，
.（Ⅰ）求直方图中
的值；

（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿；

（Ⅲ）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为
，求
的分布列和数学期望.（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）

20. （本题满分14分）

已知函数
，其中
.

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若直线
是曲线
的切线，求实数
的值；

（Ⅲ）设
，求
在区间
上的最大值.

（其中
为自然对数的底数）

21.（本题满分14分）

（1） 选修4-4：坐标系与参数方程

已知在直角坐标系
中，圆锥曲线
的参数方程为
（
为参数），定点
，
是圆锥曲线
的左，右焦点．

（Ⅰ）以原点为极点、
轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点
且平行于直线
的直线
的极坐标方程；

（Ⅱ）在（I）的条件下，设直线
与圆锥曲线
交于
两点，求弦
的长．

（2）选修4-2矩阵与变换

矩阵
，向量
，

（Ⅰ）求矩阵A的特征值和对应的特征向量；

（Ⅱ）求向量
，使得
.

季延中学2012-2013学年度(下)高二期末数学（理）考试参考答案

16.解：（I）
可能取值为1，2，3．

记“该选手通过初赛”为事件A，“该选手通过复赛”为事件B，

的分布列为：

1

2

3



P










的数学期望

∴事件D发生的概率是
.

17. 解：

（Ⅰ）因为
是函数
的一个极值点， 所以

因此，
解得

经检验，当
时，
是
的一个极值点，故所求
的值为
.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，

令
，得















+

0

-

0

+


















与
的变化情况如下：

所以，
的单调递增区间是
单调递减区间是

当
时，
在
上单调递减， 在
上单调递增

所以
在
上的最小值为

当
时，
在
上单调递增，

所以
在
上的最小值为

18. 解：（1）
的所有可能取值为0，1，2．

依题意，得
，
，
．

∴
的分布列为

0

1

2













∴
。

（2）设“男生甲被选中”为事件
，“女生乙被选中”为事件
，

则
，
， ∴
．

故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为
．

19. 解：（Ⅰ）由直方图可得：

.

所以
.

（Ⅱ）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：

，

因为
，

所以600名新生中有72名学生可以申请住宿.

所以
的分布列为：

0

1

2

3

4


















.（或
）

所以
的数学期望为1.

答；略

20. 解：（Ⅰ）
，（
），

在区间
和
上，
；在区间
上，
.

所以，
的单调递减区间是
和
，单调递增区间是
.

（Ⅱ）设切点坐标为
，则
解得
，
.

（Ⅲ）

，

则
， 解
，得
，

所以，在区间
上，
为递减函数，

在区间
上，
为递增函数.

当
，即
时，在区间
上，
为递增函数，

所以
最大值为
.

当
，即
时，在区间
上，
为递减函数，

所以
最大值为
.

当
，即
时，
的最大值为
和
中较大者；

，解得
，

所以，
时，
最大值为
，
时，
最大值为
. 综上所述，当
时，
最大值为
，当
时，
的最大值为
.

21. 解：（1）（Ⅰ）圆锥曲线
的参数方程为

（
为参数），所以普通方程为
：

直线
极坐标方程为：

（Ⅱ）

，

（2）解：（Ⅰ）由
得

，