玉溪一中高2014届高二下学期期末考

数学试题（理科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．下列说法错误的是 (　　)

A．命题“若x2－4x＋3＝0，则x＝3”的逆否命题是：“若x ≠ 3，则x2－4x＋3≠0”

B．“x＞1”是“| x |＞0”的充分不必要条件

C．若p且q为假命题，则p、q均为假命题

D．命题p：“?x∈R使得x2＋x＋1＜0”，则
：“?x∈R，均有x2＋x＋1≥0”

2. 已知 ＝b＋i (a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b等于 (　　)

A．－1 B．1 C．2 D．3

3．某班中秋联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 (　　)

A．42 B．30 C．20 D．12

4. 设
的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，则M－N＝(　　)

A．－240 B．150 C．0 D．240

5．由 > ， > ， > ，…，若a > b > 0，m > 0，则与之间大小关系为(　　)

A．相等 B．前者大 C．后者大 D．不确定

6. 如右图是湖南电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为(　　)

A．84，4.84 B．84，1.6 C．85，4 D．85，1.6

7. 若
，则
的最小值为（ ）

A．3 B．2 C．1 D．4

8. 以初速度40 m/s竖直向上抛一物体，t秒时刻的速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为(　　)

A. m 　　　　B. m 　　　C. m 　　　　D. m

9．如果函数
的图象如左图，那么导函数
的图象可能是(　　)

10．如右图所示的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的 (　　)

A．x＞c　　　　 B．c＞x　　　　　　C．c＞b 　　　 D．b＞c

11．对于不等式 < n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：

(1)当n＝1时，<1＋1，不等式成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即

∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法 (　　)

A．过程全部正确　　　　　　　　　　B．n＝1验得不正确

C．归纳假设不正确　　　　　　　　　D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确

12．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝(　　)

A．4 B．8 C．8 D．16

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知
＝(2，－1，2)，
＝(2，2，1)，则以
，
为邻边的平行四边形的面积为________．

14．若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是________．

15．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．

16．已知a，b，c为正实数，且a＋2b＋3c＝9，求＋＋的最大值________．

三、填空题（本大题共6小题，共70分）

17（本小题满分10分）解不等式

18（本小题满分12分）某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求：

（1）随机变量X的分布列； （2）随机变量X的期望．

19（本小题满分12分）已知函数

(1)若
在(－∞，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；

(2)是否存在实数
，使
在(－1，1)上单调递减？若存在，求出
的取值范围；若不存在试说明理由．

20（本小题满分12分）如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.

(1)设G是OC的中点，证明FG∥平面BOE；

(2)证明在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE，并求点M到OA，OB的距离．

21．（本小题满分12分）已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1)，且它的离心率与双曲线－y2＝1的离心率互为倒数．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点A且斜率为k的直线l与椭圆相交于A、B两点．点M在椭圆上，且满足
，求k的值．

‘

22（本小题满分12分）已知函数

（1）求
的最大值；

（2）设

玉溪一中高2014届高二下学期期末考

数学试题（理科）（参考答案）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

B

A

D

B

D

A

C

A

B

D

C





二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．  14．  15． 0.72 16． 

三、填空题（本大题共6小题，共70分）

17解：（1）当
时，原不等式化为
，

解得
，
；…………3分

（2）当
时，原不等式化为
，

解得
，
； …………6分

（3）当
时，原不等式化为
，

解得
，
…………9分

综上可知：原不等式的解集为
…………10分

18解：解法一：(1)X的所有可能值为0，1，2，3，4，5. …………1分

由等可能性事件的概率公式得

P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝，

P(X＝4)＝＝， P(X＝5)＝＝.…………7分

从而，X的分布列为：…………8分

X

0

1

2

3

4

5



P















(2)由(1)得X的期望为：

EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝＝.…………12分

解法二：(1)考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故

X～B(5，)，…………3分

即有P(X＝k)＝C()k()5－k，k＝0，1，2，3，4，5.由此计算X的分布列如解法一．………10分

(2)EX＝5×＝.…………12分

19解：(1)f′(x)＝3x2－a ………… 1分

由Δ≤0，即12a≤0，解得a≤0，…………5分

因此当f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增时，a的取值范围是(－∞，0]．…………6分

(2)若f(x)在(－1,1)上单调递减，

则对于任意x∈(－1,1)不等式f′(x)＝3x2－a≤0恒成立…………8分

即a≥3x2，又x∈(－1,1)，则3x2<3因此a≥3…………11分

函数f(x)在(－1,1)上单调递减，实数a的取值范围是[3，＋∞)．…………12分

20(1)证明：如图，连结OP，以点O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O－xyz，则O(0，0，0)，A(0，
,0)，B(8，0，0)，C(0，8，0)，P(0，0，6)，E(0，－4，3)，F(4，0，3)．…………2分

由题意，得G(0,4,0)．

因为＝(8，0，0)，＝(0，－4，3)，所以平面BOE的法向量n＝(0，3，4)，…………4分

由
(－4，4，－3)，得n· ＝0.又直线FG不在平面BOE内，

所以FG∥平面BOE. …………6分

(2)解：设点M的坐标为(x0，y0,0)，则＝(x0－4，y0，－3)．…………7分

因为FM⊥平面BOE，所以∥n，因此x0＝4，y0＝－，

即点M的坐标是.…………10分

在平面直角坐标系xOy中，△AOB的内部区域可表示为不等式组

经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在△AOB内存在一点M，使FM⊥平面BOE.

由点M的坐标，得点M到OA，OB的距离分别为4，.…………12分

21．解：(1)∵双曲线－y2＝1的离心率为， ∴椭圆的离心率为.…………2分

又∵b＝1，∴a＝2.∴椭圆的方程为＋y2＝1. …………4分

(2)设直线l的方程为y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(m，n)．

由得(1＋4k2)x2＋8kx＝0，∴x1＋x2＝－，x1·x2＝0. …………6分

∵ ＝＋，∴m＝(x1＋x2)，n＝(y1＋y2)，…………7分

∵点M在椭圆上 ，∴m2＋4n2＝4，

∴(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2＝[(x＋4y)＋3(x＋4y)＋2x1x2＋8y1y2]

＝[4＋12＋8y1y2]＝4. ∴y1y2＝0. …………10分

∴(kx1＋1)(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝k·2＋1＝0，

即k2＝，∴k＝±. 此时Δ＝(8k)2－4(1＋4k2)×0＝64k2＝16>0

∴k的值为±.…………12分

22（1）解：

即函数
的定义域为

又

…………2分

由
且
得
又

是增函数.…………4分

由
又

是减函数.…………6分

取得最大值.

的最大值等于
…………7分

（2）证明：

根据（1）知：当
是减函数.

1…………9分

化简得

…………12分