滦南一中2012-2013学年高二下学期期末数学理试题

说明：

一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题；第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分．

二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．

三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案．

四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．

（1）已知集合M＝{x｜x2－1＜0}，N＝{y｜y＝log2(x＋2)，x∈M}，则M∩N＝

（A）(0，1) （B）(－1，1) （C）(－1，0) （D）(

（2）已知命题p：(x0∈R，x＋2x0＋1≤0，则(p为

（A）(x0∈R，x＋2x0＋1＞0 （B）(x0∈R，x＋2x0＋1＜0（C）(x0∈R，x＋2x0＋1≤0 （D）(x0∈R，x＋2x0＋1＞0

（3）若复数（a∈R）为纯虚数，则|a＋2i|＝

（A）5 （B）13 （C） （D）

（4）已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离为c（c为双曲线的半焦距长），则该双曲线的离心率为

（A）2 （B）

（C） （D）

（5）执行右边的程序框图，输出的结果是

（A）127 （B）128

（C）255 （D）256

（6）2013年第12届全国运动会将在沈阳举行，某校4名大学生申请当A，B，C三个比赛项目的志愿者，组委会接受了他们的申请，每个比赛项目至少分配一人，每人只能服务一个比赛项目，则不同的安排方案共有

（A）72种 （B）24种

（C）30种 （D）36种

（7）若(x2＋1)(x－3)11＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋…＋a13(x－2)13，则a1＋a2＋…＋a11＋a12的值为

（A）－1 （B）4 （C）－6 （D）254

（9）函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，下列结论： ①将f(x)的图像向左平移个单位，所得到的函数是偶函数； ②f(x)的最小正周期为(； ③f(0)＝1；

④f()＜f()； ⑤f(x)＝－f(－x)．

其中正确的是（A）①②③ （B）②③④

（C）①④⑤ （D）②④⑤

（10）若三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝2，AB

＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，则球O的表面积为

（A）64( （B）16( （C）12( （D）4(

（11）设等差数列{an}的前n项和为Sn且满足S16＞0，S17＜0，则，，…中最大的

项为

（A） （B） （C） （D）

（12）定义在(0，)上的函数f(x)，其导函数为f′(x)，且恒有f(x)＜f′(x)·tanx成立，

则

（A）f()＞f() （B）f()＜f()

（C）f()＞f() （D）f()＜f()

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．

（13）已知||＝1，||＝6，·(－)＝2，则向量与的夹角为___________.

（14）数列{an}的前n项和为Sn, a1＝2, an＋1＝2Sn＋1（n∈N*），则数列{an}的通项公式为___________.

（15）1000名考生的数学成绩近似服从正态分布N(100，225)，则成绩在130分以上的考生人数约为_________．

（注：正态总体N(μ，σ2)在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率为0.954）

（16）已知直线l的倾斜角为，它与抛物线y2＝2px（p＞0）相交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若＝λ（λ＞1），则λ的值为___________.

三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分12分）

已知锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a2＋b2－c2)tanC＝ab．

（Ⅰ）求角C；

（Ⅱ）若c＝，求2a－b的取值范围．

（18）（本小题满分12分）

某工厂2013年上半年生产的A，B，C，D四种型号的产品产量用条形图表示如图，现用分层抽样的方法从中选取40件样品参加今年七月份的一个展销会．

（Ⅰ）问：A，B，C，D四种型号的产品

分别抽取多少件？

（Ⅱ）从40件样品中随机地抽取2件，

求这2件产品恰好是不同型号产品的概率；

（Ⅲ）40件样品中，从C，D型号的产

品中随机抽取3件，用X表示抽取的C种型

号产品的件数，求X的分布列和数学期望．

（19）（本小题满分12分）

如图所示的五面体中，四边形ABCD是

矩形，DA⊥面ABEF，且DA＝1，AB//EF，

AB＝EF＝2，AF＝BE＝2．

（Ⅰ）求证：AM⊥平面ADF；

（Ⅱ）求二面角A-DF-E的余弦值.

（20）（本小题满分12分）

已知两定点E(－，0) ，F(，0)，动点P满足·＝0，由点P向x轴作垂线PQ，垂足为Q，点M满足＝，点M的轨迹为C.

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）若直线l交曲线C于A、B两点，且坐标原点O到直线l的距离为，求|AB|的最大值及对应的直线l的方程.

（21）（本小题满分12分）

已知函数f(x)＝a(x－)－2lnx．(a∈R)

(Ⅰ)曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是2x－y＋b＝0，求a，b的值；

(Ⅱ)若不等式f(x)≥0在[1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．

请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，已知圆C的圆心C(，)，半径r＝．

（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；

（Ⅱ）若α∈[0，)，直线l的参数方程为（
为参数），直线l交圆C

于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)＝|x＋a|．

（Ⅰ）当a＝－1时，求不等式f(x)≥|x＋1|＋1的解集；

（Ⅱ）若不等式f(x)＋f(－x)＜2存在实数解，求实数a的取值范围．

滦南一中2012—2013学年度高二年级第二学期期末考试

理科数学 参考答案

三、解答题：

（17）解：

（Ⅰ）由余弦定理可得a2＋b2－c2＝2abcosC，

结合(a2＋b2－c2)tanC＝ab可得2cosCtanC＝2sinC＝，即sinC＝．

∵△ABC为锐角△，∴C＝． ……………………………6分

（Ⅱ）由正弦定理可得2a－b＝4sinA－2sinB．

∵B＝－A，

∴2a－b＝4sinA－2sin(－A)＝3sinA－cosA＝2sin(A－)，

∵△ABC为锐角△，∴A∈(，)，∴A－∈(0，)．

故2a－b的取值范围为(0，3)． ……………………………12分

X的数学期望为EX＝． …………………………………………12分



（Ⅱ）如图，以A为原点，以AM、AF、AD所

在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．

则A(0，0，0)，D(0，0，1) ，M(2，0，0) ，F(0，2，0) ．

可得＝(2，0，0)，＝(－2，2，0)，＝ (0，2，－1)，

设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，则．

（20）解：

（Ⅰ）∵动点P满足·＝0， ∴点P的轨迹方程为x2＋y2＝2．

设M(x，y)，依题意可得P(x，y)

代入P满足的方程可得x2＋(y)2＝2，即曲线C：＋y2＝1．…………………4分

（Ⅱ）①若直线l垂直于x轴，此时|AB|＝． ……………………………5分

②若直线l不垂直于x轴，设直线l的方程为y＝kx＋m，

则原点O到直线l的距离为＝，整理可得2m2＝1＋k2．

…………………………………………6分

由消去y可得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可得△＞0，

则x1＋x2＝－，x1x2＝．

∴|AB|＝·＝2·

……………………………………8分

∵2m2＝1＋k2，

∴2 (1＋k2)(1＋2k2－m2)＝(1＋k2)(2＋4k2－2m2)＝(1＋k2)(1＋3k2) ≤(1＋2k2) 2，

等号当且仅当1＋k2＝1＋3k2，即k＝0时成立．

即2·≤2，

所以k＝0时，|AB|取得最大值2.

此时直线l的方程为y＝±. …………………………………………12分

(2) 当0＜a＜1时，f'(x)＝a(1＋)－＝在[1，)上满足f'(x)＜0，此时函数f(x)单调递减，又f(1)＝0，所以f(x) ≤0，其与条件f(x)≥0在[1，＋∞)恒成立矛盾，故舍去．

(3) 当a≥1时，a(1＋)≥1＋≥，f'(x) ≥0，此时函数f(x)单调递增，又f(1)＝0，所以f(x)≥0．

故实数a的取值范围是a≥1． …………………………………………12分

（22）解：

（Ⅰ）连结ON，

∵PN切⊙O于N，∴∠ONP＝90°，

∴∠ONB＋∠BNP＝90°．

∵OB＝ON，∴∠OBN＝∠ONB．

∵OB垂直于AC于O，∴∠OBN＋∠BMO＝90°，

∴∠BNP＝∠BMO＝∠PNM，∴PM＝PN．

∴PM2＝PN2＝PA·PC． …………………………………………5分

（Ⅱ）OM＝2，BO＝2，BM＝4．

∵BM·MN＝CM·MA ＝(2＋2)(2－2)＝8，

∴MN＝2． …………………………………………10分

（23）解：

(Ⅰ)∵C(，)的直角坐标为(1，1)，

∴圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝3．

化为极坐标方程是ρ2－2ρ(cosθ＋sinθ)－1＝0 ……………………………………5分

(Ⅱ)将代入圆C的直角坐标方程(x－1)2＋(y－1)2＝3，

得(1＋tcosα)2＋(1＋tsinα)2＝3，

即t2＋2t(cosα＋sinα)－1＝0．

∴t1＋t2＝－2(cosα＋sinα)，t1·t2＝－1．

∴|AB|＝|t1－t2|＝＝2．

∵α∈[0，)，∴2α∈[0，)，∴2≤|AB|＜2．

即弦长|AB|的取值范围是[2，2) ………………………………10分

（24）解：

(Ⅰ) 当a＝－1时，不等式f(x)≥|x＋1|＋1可化为|x－1|－|x＋1|≥1

化简可得或或

解得x≤－1，或－1＜x≤－，

即所求解集为{x|x≤－}． …………………………………5分

(Ⅱ)令g(x)＝f(x)＋f(－x)，则g(x)＝|x＋a|＋|x－a|≥2|a|．

∴g(x)的最小值为2|a|．

依题意可得2＞2|a|，即－1＜a＜1．

故实数a的取值范围是(－1，1)． …………………………………………10分