丰南一中2012-2013学年高二年级期中考试数学试题（理）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5
分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1.i是虚数单位，复数
的共轭复数是 （ ）[来源:学科网ZXXK]

(A)1+2i (B)2+4i
(C)1-2i
(D)2-
i

2. 函数
, 已知
在
时取得极值, 则
( )

A. 2 B. 3 C
. 4 D. 5

3．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ）

A．10种 B．20种 C．25种 D．32种 [来源:Zxxk.Com]

4.、将一颗骰子连掷5次,恰好2次出现3点的概率为( )

A.C52
B. C52
C.
D. C53

5.下列积分不正确的是

A、
B、

C、
D、

6.已知随机变量
服从正态分布
，且
，则

A.?
?? ??B.
???? ?C.
??????D.

7．已知函数f(x)是定义在Ｒ内的可导函数，且f(x) ＝f (2－x)，(x－1)
<0，若a=f(0) ，b=f(
)，c=f(3)，则a，b，c的大小关系为( )

A．a

8.已知
,记
,
,
= ( )

A 0 B

C
D

9.若
，则[来源:学|科|网]

（ ）[来源:学科网]

A
.2
009 B.2010
C.2011 D.2012

10. 有5盆菊花，其中黄菊花2盆，白菊花2盆，红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求 2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻。则这5盆花不同的摆放种树为 （ ）

A 12 B 24 C 36 D 48

1
1．用数学归纳法证明等式：
…+
，则从
到
时左边应添加的项为（ ）．

A.
B.

C.
D.
…+

12．曲线y=
与其在点（0，一1）处的切线及直线x=1所围成的封闭图形的面积为

A．1－ln2 B．2－2n2 C． ln2 D．2ln2－1

二、填空题（本大题共4小题， 每小题5分 ，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）

13.
展开式中
的系数为______

14.某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门。一位同学从中选3门，若要求两类课程各至少选一门，则不同的选法共有____________种。

15.函数
的单调增区间是_______
_____

16.定义在R上的函数
满足
，且对任意
,都有
，则不等式

的解集为________
____

三解答题

17．（10分）若a,b,c均为实数，且
，

求证：a，b，c中至少有一个大于0。

18.（本题满分12
分）某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定.他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张.投票时
，每人必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为
，他们的投票相互没有影响.规定：若投票结果中至少有两张“同意”票，则决定对该项目投资；否则，放弃对该项目投资．

（1）求该公司决定对该项目投资的概率；

（2）记投票结果中“中立”票的张数为随机变量
，求
的分布列及数学期望E
．

19．设函数
．

（Ⅰ）已知曲线
在点
处的切线
的斜率为
，求实数
的值；

（Ⅱ）讨论函数
的单调性；

（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，求证：对于定义域内的任意一个
，都有
．

20.
(本小题满分12分)

地震、海啸、洪水、森林大火等自然灾害频繁出现，紧急避险常识越来越引起人们的重视．某校为了了解学生对紧急避险常识的了解情况，从高一年级和高二年级各选取100名同学进行紧急避险常识知识竞赛.下图1和图2分别是对高一年级和高二年级参加竞赛的学生成绩按
，
分组，得到的频率分布直方图.

(Ⅰ)分别计算参加这次知识竞赛的两个年级学生的平均成绩；

(Ⅱ)完成下面
列联表，并回答是否有99%的把握认为“两个年级学生对紧急避险常识的了解有差异”？

[来源:学。科。网]

成绩小于60分人数

成绩不小于60分人数

合计



高一年级

[来源:学|科|网]







高二年级









合计





[来源:学科网ZXXK]



附：
.

0.10

0.05

0.010





2.706

3.841

6.635



临界值表：

21、某单位为了提高员工素质，举办了一场跳绳比赛，其中男员工12人，女员工18人，其成绩编成如图所示的茎叶图（单位：分），分数在175分以上（含175分）者定为“运动健将”，并给予特别奖励，其他人员则给
予“运动积极分子”称号.

⑴ 若用分层抽样的方法从“运动健将”和“运动积极分子”中抽取10人，然后再从这10人中选4人，求至少有1人是“运动健将”的概率；

⑵ 若从所有“运动健将”中选3名代表，用
表示所选代表中女“运动健将”的人数，试写出
的分布列，并求
的数学期望.

22．（本小题满分12分）设函数

（1）若关于x的不等式
在
有实数解，求实数m的取值范围；

（2）设
，若关于x的方程
至少有一个解，求p 的最小值.

（3）证明不等式：

期中考试数学答案理

一
选择题：CDDAB CDBCB DD

二．填空题：(13)135 (14) 30 (15) (
(16)

17..证明：设a、b、c都
不大于0，a≤0，b≤0，c≤0，∴a＋b＋c≤0，

而a＋b＋c＝（x2－2y＋）＋（y2－2z＋）＋（z2－2x＋）

＝（x2－2x）＋（y2－2y）＋（z2－2z）＋π＝（x－1）2＋（y－1）2＋（z－1）2＋π－3，

∴a＋b＋c＞0，这与a＋b＋c≤0矛盾，故a、b、c中至少有一个大于0.

18解：（1）设投同意票的人数为
，则
．

；…………………………………………………

（2）

；

；

；

．………
…………………………

以上求概率过程也可以写成下面的形式：

=0，1，2，3）

0

1

2

3















∴
的分布列为

的数学期望为：
．………

19.解：（Ⅰ）
的定义域为
,

.

根据题意，
，

所以
，即
，解得
. ……3分

（Ⅱ）
.

（1）当
时，因为
，所以
，
，

所
以
，函数
在
上单调递减.

（2）当
时，

若
，则
，
，函数
在
上单调递减；

若
，则
，
，函数
在
上单调递增.

综上所述，当
时，函数
在
上单调递减；当
时，

函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
………7分

（Ⅲ）由（Ⅰ）可知
.

设
，即
.

.

当
变化时，
，
的变化情况如下表：

[来源:学§科§网Z§X§X§K]











－

0

＋







极小值






是
在
上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是
的最小值点.

可见
，
.

所以
，即
，所以对于定义域内的每一个
，都有
.

20.解：(Ⅰ)七年级学生竞赛平均成绩(45×30+55×40+65×20+75×10)÷100=56(分)，

八年级学生竞赛平均成绩﹙45×15+55×35+65×
35+75×15﹚÷100=60(分).

……………………………6分

(Ⅱ)

成绩小于60分人数

成绩不小于60分人数

合计




七年级

70

30

100



八年级

50

50

100



合计[来源:学§科§网]

120[来源:学科网ZXXK]

80

200



…………………………8分

∴
，

∴
有99%的把握认为“两个年级学生
对紧急避险常识的了解有差异”.

21.解：（1）根据茎叶图，有“运动健
将”12人，“运动积极分子”18人------------1分

用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率为
，所以选中的运动健将有
运动积极分子有
-----------------3分

设事件
：至少有1名‘运动健将’被选中，则

-----------5分

（2）由茎叶图知男“运动健将有”8人，女“运动健将”有4人，故
的取值为

------------7分

----------9分

的分布列为：



1

2

3















---------------10分

-------------- 12分