高二下学期期末模拟考试数学（理）试题

时间：120分钟 满分：160分 2013.6

一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 不需写出解答过程．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．

1． 设
，则
的虚部是 ▲ ．

2． 若事件、相互独立，且
，
，则
等于 ▲ ．

3． 设
＝(x，4，3)，
＝(3，2，z)，且
则xz的值为 ▲ ．

4．
的展开式中，常数项为 ▲ （用数字作答）

5． 用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 ▲ ．

6． 计算
= ▲ ．

7．已知
则

▲ ．

8．
在
处的切线方程是 ▲ ．

9． 某班学生考试成绩统计如下：数学不及格的占
，语文不及格的占
，两门都不及格的占
．已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是 ▲ ．

10． 2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 ▲ ．

11． 已知复数
，其中实数
满足方程
，则

▲ ．

12． 已知随机变量的分布列为

0

1

2

3

4





0．1

0．2

0．4

0．2

0．1



则随机变量的方差为 ▲ ．

二、解答题:本大题共6小题，共90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15．（本大题14分）已知
．

（Ⅰ）求
展开式中的常数项；

（Ⅱ）求
展开式中的二项式系数最大的项．

16． （本大题14分）一袋中有m(m∈N*)个红球，3个黑球和2个白球，现从中任取2个球．

（Ⅰ）当m=4时，求取出的2个球颜色相同的概率；

（Ⅱ）当m=3时，设ξ表示取出的2个球中黑球的个数，求ξ的概率分布列及数学期望；

（Ⅲ）如果取出的2个球颜色不相同的概率小于
，求m的最小值．

18．（本大题16分） 某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为
，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为， (＞)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为

ξ

0

1

2

3















(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；

(Ⅱ)求，的值；

(Ⅲ)求数学期望ξ．

19．（本大题16分） 自然状态下的鱼类是一种再生的资源．为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响．用
表示某鱼群在第年年初的总量，
，且
．不考虑其它因素，设在第年内鱼群的繁殖量及被捕捞量都与
成正比，死亡量与
成正比，这些比例系数依次为正常数
．

(Ⅰ)使用
表示
；

(Ⅱ)当
，
，
时，对任意的
，猜想
（
，
）的范围，并用数学归纳法证明。

20． （本题满分16分）

设函数
．

(Ⅰ)当方程
只有一个实数解时，求实数的取值范围；

(Ⅱ)当
时，求过点
作曲线
的切线的方程；

(Ⅲ)若＞0且当
时，恒有
，求实数的取值范围．

数学（理科）参 考 答 案

一、填空题

1、
2、0.2 3、9 4、672 5、48 6、

7、
8、
9、0.2 10、48

11、
12、1.2 13、 14、

二、解答题

16解：（I）设“取出的2个球颜色相同”为事件A

P(A)=
……………………………………4分

(II)

ξ

0

1

2



P









………… 7分

Eξ=0×
+1×
+2×
=
………………………………………9分

（III）设“取出的2个球中颜色不相同”为事件B，则

P(B)=
………………………11分

∴x2-6x+2>0

∴x>3+
或x<3-
，x的最小值为6．………………………14分

17解：
平面ABCD，

又

由平面几何知识得

OD=OC=1，BO=AO=2.

以O为原点，OA，OB，OP分别为x，y，z轴

建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为

O（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），

C（—1，0，0），D（0，—1，0），P（0，0，
）.………………………2分

（I）
，

，
，

故直线PD与BC所成的角的余弦值为
.…………6分

18解：事件
表示“该生第门课程取得优秀成绩”， =1,2,3，由题意知

，
，

（I）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“
”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是

，……………………4分

（II）由题意知

……6分

…………………8分

整理得
，

由
，可得
，
.……………………………………………10分

（III）由题意知

=

…………………………………………………………12分

=
…………………………………………………………14分

=
……………………………………………………………16分

19解：（I）从第年初到第
年初，鱼群的繁殖量为
，被捕捞量为
，死亡量为
，因此
，
，

即
，
；………………………………………………4分

（II）当
，
，
时，由（1）得：

则
。由于
，所以
，

，由于
，所以
……………………6分

猜想：
……………………8分

证明：

①当
时，结论显然成立．……………………………………………………………9分

②假设当
时，结论成立，即
．…………………………10分

则当
时，

．由归纳假设

则

故当
时，结论成立．………………………………………14分

由（1）、（2）命题对一切
的自然数成立。………………………………16分

（Ⅱ）当
时，
，
，设切点为
，

切线方程设为
，即
.

将原点代入，得
，

解得
.…………………8分

因此过
作曲线
的切线的方程为

.……………………１０分

（Ⅲ）由

因为
.

所以
在
和
内单调递减，在
内单调递增. ……………1２分

（1）当
，即
时，
在区间
上是增函数，
.

无解. ……………………………13分