高二下学期期末考试数学试题

一、填空题

1．若直线ax + y – 1 = 0与直线4x + (a – 5) y – 2 = 0垂直，则实数a的值等于 ．

2．如示意图，甲站在水库底面的点D处，乙站在水拟斜面上的点C处，已知库底与水

坝所成的二面角为120°测得从D、C到库底与水坝的交线的距离分别为DA=30米、CB=40

米，AB的长为20
米，则甲乙两人相距 米。

3．若抛物线
的焦点与椭圆
的右焦点重合，则
的值为________.

4．若直线
与圆
相切，则实数
的值为 ．

5．已知
，
，
，
。根据上述系列等式，确定
和
的最大公约数是 ．

6．已知
中，
为
边上一点，若

．

7．若实数
满足不等式组
(其中
为常数),且
的最大值为12,则
的值等于 .

8．用总长14.8
的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制容器底面一边的长比另一边的长多0.5
,则容器的最大容积是
.

9．如果执行右面的程序框图，那么输出的
。



10．函数
（
）的单调递增区间是______________________.

11．（几何证明选讲选做题）如图，已知
是圆
的切线，切点为
，直线
交圆
于
两点，
,
，则切线PA的长度等于 ．

12．已知
则

13．已知双曲线的方程为
，则此双曲线的焦点到渐近线的距离为

14．已知函数
，则
.

二、解答题

15．已知
，
为第二象限角，求
和
及
的值.

16．已知数列
的前
项和为
，点
在直线
上.数列
满足
，且
，前9项和为153.

（1）求数列
、
{的通项公式；

（2）设
，数列
的前
和为
，求使不等式
对一切
都成立的最大正整数
的值；

（3）设
，问是否存在
，使得
成立？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.

17．学校要用三辆车从北湖校区把教师接到文庙校区，已知从北湖校区到文庙校区有两条公路，汽车走公路①堵车的概率为
，不堵车的概率为
；汽车走公路②堵车的概率为
，不堵车的概率为
，若甲、乙两辆汽车走公路①，丙汽车由于其他原因走公路②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响。（I）若三辆车中恰有一辆车被堵的概率为
，求走公路②堵车的概率；（Ⅱ）在（I）的条件下，求三辆车中被堵车辆的个数
的分布列和数学期望。

18．
的内切圆与三边
的切点分别为
，已知
，内切圆圆心
，设点
的轨迹为
.

（1）求
的方程；

（2）过点
的动直线
交曲线
于不同的两点
（点
在
轴的上方），问在
轴上是否存在一定点
（
不与
重合），使
恒成立，若存在，试求出
点的坐标；若不存在，说明理由.

19．已知函数
，
．

（I）证明：当
时，
在
上是增函数；

（II）对于给定的闭区间
，试说明存在实数
，当
时，
在闭区间
上是减函数；

（III）证明：
．

18．【解】（1）设点
，由题知


，

根据双曲线定义知，点
的轨迹是以
为焦点，实轴长为
的双曲线的右支（除去点
），

故
的方程为
. …4分

（2）设点
.




 ，
 　 ……………………… 6分

即
在闭区间[a,b]上为减函数.

（III）

20．

（1）数列
是首项为4,公比为2的等比数列

（2）