考试时间：100分钟 满分：100分

选择题（共54分）

一、选择题，本大题共18个小题，每小题3分，共54分.在第小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1.已知集合
，集合
，则
等于

2.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧图都是边长为的等边三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的体积为

3.在平行四边形
中，
等于

4.已知向量
、
，
，
，
与
夹角等于
，则
等于

5.为了得到函数
，只需要把
图象上所有的点的

横坐标伸长到原来的
倍，纵坐标不变

横坐标缩小到原来的
倍，纵坐标不变

纵坐标伸长到原来的
倍，横坐标不变

纵坐标缩小到原来的
倍，横坐标不变

6.已知一个算法，其流程图如右图所示，则输出的结果是

7.两条直线
与
的位置关系是

平行
垂直

相交且不垂直
重合

8.若
为
中AB、AC的中点，现有质地均匀的粒子散落在
内，则粒子在
内的概率等于

9.计算
的值为

⒑在
中，
、
、
所对的边长分别是
、
、
，则
的面积为

⒒同时掷两个骰子，则向上的点数之积是的概率是

⒓已知直线的点斜式方程是
，那么此直线的倾斜角为

⒔函数
的零点所在的区间是

⒕已知实数、满足
，则
的最大值等于

⒖已知函数
是偶函数，且在区间
单调递减，则
在区间
上是

单调递减函数，且有最小值

单调递增函数，且有最大值

单调递减函数，且有最小值

单调递增函数，且有最大值

⒗已知等差数列
中，
，
，则前项的和
等于

⒘当输入的值为，
的值为
时，右边程序运行的结果是

⒙ 若一个圆的圆心在直线
上，经过点
，且与直线
相切，则这个圆的方程可能是

非选择题（共46分）

二、填空题，本大题共4个小题，每小题4分，共16分.请把答案写在答题卡的位置上.

⒚ 某校有老师
名，男生
，女生
名，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为
的样本，则从女生中抽取的人数为 .

⒛如图是某中学高二年级举办的演讲比赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的中位数为 .

21.计算
的值是 .

22.已知
的图象与轴没有公共点，则的取值范围是 （用区间表示）.

三、解答题，本大题共4个小题，第23、24题各7分，第25、26题各8分，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

23.（本小题满分7分，其中第⑴问4分，第⑵问3分）

已知函数

（1）写出
的最小正周期及最大值；

（2）求
的增区间.

24.（本小题满分7分，其中第⑴问4分，第⑵问3分）

如图，在正方体
中，、分别是
、
的中点。

（Ⅰ）求异面直线
与
所成的角；

（Ⅱ）证明：
平面

25.（本小题满分8分，其中第⑴问4分，第⑵问4分）

春节前夕，南方地区遭遇罕见的低温雨雪冰冻天气，赣南脐橙受灾滞销．为了减少果农的损失，

政府部门出台了相关补贴政策：采取每千克补贴0.2元的办法补偿果农．

下图是“绿荫”果园受灾期间政府补助前、后脐橙销售总收入y（万元）与销售量x（吨）的关系图．

请结合图象回答以下问题：

求出台该项优惠政策后y与x的函数关系式；

去年“绿荫”果园销售30吨，总收入为10.25万元；若按今年的销售方式，则至少要销售多少吨脐橙？总收入能达到去年水平．

26. （本小题满分8分，其中第⑴问2分，第⑵问3分，第⑶问3分）

已知数列
中，
，
，
.

⑴ 求
的值；

⑵ 证明：数列
是等比数列；

⑶ 求数列
的通项公式.

2013年春季学期高二数学期末考参考答案：

24.解法一：（1）如图，设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系

则
，
，
，

，

即
与
所成的角为

（2）又

由（1）知
，且

所以
平面

解法二：（1）取
的中点
，连接
，则
，
与
相交所成的角即为异面直线
与
所成的角

易证
，则
，
与
互余，所以
与
互余，

异面直线
与
所成的角为

（2）
平面
，又
平面
，

由上可知
，且

平面

所以，
是首项为
，公比也为3的是等比数列；

⑶由⑵可知，
时，

所以：

∴，