泰州二中2012-2013学年高二下学期期中考试数学（理）试题

命题：杨华 审核： 周干清

一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上.

1.写出命题“若a＝0，则ab＝0”的逆否命题： ▲ .

2．函数
已知
时取得极值，则
= ▲ .

3.命题“对所有的正数x，
”的否定是 ▲ .

4.命题“
使x为31的约数”是 ▲ 命题.（从“真”和“假”中选择一个填空）

5. “三角函数是周期函数，y＝sinx，x∈是三角函数，所以y＝sinx，x∈是周期函数”．在以上演绎推理中，下列说法正确的是 ▲ ．

(1)推理完全正确；(2)大前提不正确；(3)小前提不正确；(4)推理形式不正确．

6.“a=b”是“
”的 ▲ 条件.（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选择一个填空）

7．设
是函数
的导函数，已知
在R上的图象（如图），若
，则
的取值范围是 ▲

8. 已知函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围是 ▲ .

9. 在平面上，若两个正三角形的边长的比为
，则它们的面积比为1：2，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积的比为 ▲

10. 过曲线f(x)=-x3+3x的点A(2,-2)的切线方程 ▲

11．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋32＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据规律，第五个等式为 ▲

12. 已知
为偶函数，曲线
，
。若曲线
有斜率为0的切线，则实数
的取值范围为 ▲

13.已知函数
在区间
内，既有极大也有极小值，则实数
的取值范围是 　　▲　　　．

14．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：

①2011∈[1]； ②－3∈[3]； ③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；

④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．

其中，正确结论的个数是___▲_____．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.

15．（本题满分14分）

（1）用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于60°.

（2）已知
试用分析法证明：
.

16．（本题满分14分）

已知c＞0，设命题p：函数y＝cx为减函数.命题q：当x∈[
，2]时，函数f(x)＝x＋
＞
恒成立.如果p或q为真命题，p且q为假命题.求c的取值范围.

17．（本题满分14分）

已知函数
,若
,
有极值，且曲线
在点(1,
)处的切线斜率为3.

（1）求函数
的解析式；

（2）求
在[－4，1]上的最大值和最小值。

（3）函数
有三个零点，求实数
的取值范围.

18. （本题满分16分）

某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为
（0＜
＜1
，则出厂价相应提高的比例为0.7
，年销售量也相应增加.已知年利润=（每辆车的出厂价－每辆车的投入成本）×年销售量.

（1）若年销售量增加的比例为0.4
，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例
应在什么范围内？

（2）年销售量关于
的函数为
，则当
为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？

19．（本题满分16分）

在计算“
”时，先改写第k项：

由此得

……

相加，得

（1）类比上述方法，请你计算“
”的结果；

(2) 试用数学归纳法证明你得到的等式.

20. （本题满分16分）

定义：已知函数f（x）与g（x），若存在一条直线
，使得对公共定义域内的任意实数均满足g（x）≤f（x）≤
恒成立，其中等号在公共点处成立，则称直线
为曲线f（x）与g（x）的“左同旁切线”．已知

（I）证明：直线y=x-l是f（x）与g（x）的“左同旁切线”；

（Ⅱ）设P（
是函数 f（x）图象上任意两点，且0<
<
，若存在实数
>0，使得
．请结合（I）中的结论证明：

江苏省泰州二中2012－2013学年度第二学期

高二数学(理科)期中考试试卷

命题：杨华 审核： 周干清

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填在答题卡相应的位置上.

1.写出命题“若a＝0，则ab＝0”的逆否命题： ▲ .若ab
0,则a
0

2．函数
已知
时取得极值，则
= ▲ . 5

3.命题“对所有的正数x，
”的否定是 ▲ . 存在正数x，

4.命题“
使x为31的约数”是 ▲ 命题.（从“真”和“假”中选择一个填空）真

5. “三角函数是周期函数，y＝sinx，x∈是三角函数，所以y＝sinx，x∈是周期函数”．在以上演绎推理中，下列说法正确的是 ▲ ．(3)

(1)推理完全正确；(2)大前提不正确；(3)小前提不正确；(4)推理形式不正确．.

6.“a=b”是“
”的 ▲ 条件.（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选择一个填空）必要不充分

7．设
是函数
的导函数，已知
在R上的图象（如图），若
，则
的取值范围是▲ _____________

8. 已知函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围是 ▲ .

9. 在平面上，若两个正三角形的边长的比为
，则它们的面积比为1：2，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积的比为 1:8

10. 过曲线f(x)=-x3+3x的点A(2,-2)的切线方程 ▲
或

11．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋32＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据规律，第五个等式为 ▲ 13＋23＋33＋43＋53＋63＝212

12. 已知
为偶函数，曲线
，
。若曲线
有斜率为0的切线，则实数
的取值范围为 ▲ _____________

13.已知函数
在区间
内，既有极大也有极小值，则实数
的取值范围是 　　▲　　　．

14．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：

①2011∈[1]；

②－3∈[3]；

③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；

④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．

其中，正确结论的个数是________．①③④

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.

15．（本题满分14分）

（1）用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于60°.

（2）已知
试用分析法证明：
.

【答案】（（1）证明：假设在一个三角形中，没有一个内角大于或等于60°，即均小于60°，

则三内角和小于180°，与三角形中三内角和等于180°矛盾，故假设不成立 .原命题成立 .

（2）证明：要证上式成立，需证

只需证1>0

因为1>0显然成立，所以原命题成立 .

16．（本题满分14分）

已知c＞0，设命题p：函数y＝cx为减函数.命题q：当x∈[
，2]时，函数f(x)＝x＋
＞
恒成立.如果p或q为真命题，p且q为假命题.求c的取值范围.

【答案】由命题p知：0＜c＜1.

要使此式恒成立，则2＞
，即c＞
.

又由p或q为真，p且q为假知，

p、q必有一真一假，

当p为真，q为假时，c的取值范围为0＜c≤
.

当p为假，q为真时，c≥1.

综上，c的取值范围为{c|0＜c≤
或c≥1}.

17．（本题满分14分）

已知函数
,若
,
有极值，且曲线
在点(1,
)处的切线斜率为3.

（1）求函数
的解析式；

（2）求
在[－4，1]上的最大值和最小值。

（3）函数
有三个零点，求实数
的取值范围.

【答案】

解：（1）

由题意，得

所以，

（2）由（1）知

令

x

－4

（－4，

－2）

－2

（－2，
）



（
，1）

1







+

0

－

0

+









↗

极大值

↘

极小值

↗





函数值

－-11



13







4





上的最大值为13，最小值为－11。

（3）

18. （本题满分16分）

某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为
（0＜
＜1
，则出厂价相应提高的比例为0.7
，年销售量也相应增加.已知年利润=（每辆车的出厂价－每辆车的投入成本）×年销售量.

（1）若年销售量增加的比例为0.4
，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例
应在什么范围内？

（2）年销售量关于
的函数为
，则当
为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？

【答案】（1）由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×（1+x）；

出厂价为13×（1+0.7x）；年销售量为5000×（1+0.4x），

因此本年度的利润为

即：

由
， 得

（2）本年度的利润为

则

由

当
是增函数；当
是减函数.

∴当
时，
万元，

因为
在（0，1）上只有一个极大值，所以它是最大值，

所以当
时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元．

19．（本题满分16分）

在计算“
”时，先改写第k项：

由此得

……

相加，得

（1）类比上述方法，请你计算“
”的结果；

(2) 试用数学归纳法证明你得到的等式.

【答案】见解析

【解析】本试题主要是考查了类比推理的运用，以及数学归纳法的综合运用。

（1）根据已知的条件和结论，分析观察可知道所求的表达式的结论。

（2）运用数学归纳法证明时，注意两步骤的运用尤其是假设一定要用上，否则证明的结论就是错误的。

(1) 先改写第k项：

由此得

…

相加，得

(2)证：当
时,左边=
，右边

当
时等式成立

假设当
时,
成立，那么, 当
时,

即当
时, 等式也成立 由(1),(2)可知，对一切自然数

成立

20. （本题满分16分）

定义：已知函数f（x）与g（x），若存在一条直线
，使得对公共定义域内的任意实数均满足g（x）≤f（x）≤
恒成立，其中等号在公共点处成立，则称直线
为曲线f（x）与g（x）的“左同旁切线”．已知

（I）证明：直线y=x-l是f（x）与g（x）的 “左同旁切线”；

（Ⅱ）设P（
是函数 f（x）图象上任意两点，且0<
<
，若存在实数
>0，使得
．请结合（I）中的结论证明：

【答案】

（Ⅰ）要证明结论即证
.

构造函数令
，则
，分析最值得到结论。

再令
分析最值得到结论

综上可知故对任意
，恒有
成立，即直线
是
与
的“左同旁切线”

（Ⅱ）因为根据已知函数，得到导函数
，所以
，所以
.