乐安一中2012-2013学年高二5月月考数学（文）试题

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1集合
,则
（　　）

A．
B．
C．
D．

2设复数
，若
为纯虚数，则实数
（ ）

A．
B.
C．
D．

3 ．已知命题p:
,命题q:
,则下列命题为真命题的是 （　　）

A．
B．

C．
D．

4.若函数
，且
，则
的值为（ ）

或

5. 已知
:
,
:
,则
是
的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

6.设函数
的图象大致是

7.已知函数
，若
是函数
的零点，且
，则
（ ）

A.恒为正值 B.等于0 C.恒为负值 D.不大于0

8．
(其中m、n为正数)，若
，则
的最小值是（ ）

A． 2
B．3

C．3
+2 D．2
+3

9.设数列
（ ）

A．若
，则
为等比数列

B．若
，则
为等比数列

C．若
，则
为等比数列

D．若
，则
为等比数列

10.过双曲线
=1(a>0,b>0)的左焦点F，作圆
的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若E为PF的中点，则双曲线的离心率为（ ）

A.
B.
C.
D.

二。填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11.已知命题
函数
在
上单调递增;命题
不等式
的解集是
.若
且
为真命题,则实数
的取值范围是______.

12.右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损。则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为＿＿＿

13.函数
是定义在
上的偶函数,且满足
.当
时,
.若在区间
上方程
恰有三个不相等的实数根,则实数
的取值范围是 ________.

14.已知定义在R上的函数f(x),对任意x∈R,都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,若函数
的图象关于直线x=-1对称,则f(201 3)=

15.下列命题正确的序号为___________.

①函数
的定义域为
;

②定义在
上的偶函数
最小值为
;

③若命题
对
,都有
,则命题

,有
;

④若
,
,则
的最小值为
.

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16. （本小题满分12分）

已知函数

（1）求函数
的值域；

（2）记
D的内角
的对边分别为
，若
求
的值．[z*zs*tep.com]

17. （本小题满分12分）

高二某班有两个数学课外兴趣小组,第一组有
名男生,
名女生,第二组有
名男生,
名女生.现在班主任老师要从第一组选出
人,从第二组选出
人,请他们在班会上和全班同学分享学习心得.

(Ⅰ)求选出的
人均是男生的概率;(Ⅱ)求选出的
人中有男生也有女生的概率.

18. （本小题满分12分）

定义域为R的偶函数f(x)，当x>0时，f(x)＝lnx－ax(a∈R)，方程f(x)＝0在R上恰有5个不同的实数解．

(1)求x<0时，函数f(x)的解析式；

(2)求实数a的取值范围．

19（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB= 2AD =2CD =2．E是PB的中点．

（I）求证：平面EAC⊥平面PBC;

（ II）若PC=
，求三棱锥C-ABE高的大小．[中国教育出版网zzstep.com]

20. （本小题满分13分）

已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M(0,2)是椭圆的一个顶点,△F1MF2是等腰直角三角形.

(1)求椭圆的方程;

(2)过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,设两直线的斜率分别为k1,k2,且k1+k2=8,证明:直线AB过定点.

21. （本小题满分14分）

已知
.

（I）求函数f（x）的最小值；

（ II）当x> 2a,证明：

参考答案

1—5 CDBCA 6---10 AADCC

11
12.
13.
14.0 15.②③④

16解：（1）

…………………………………………………… …4分

，
，
，

所以函数
的值域是
；……………………………… …………6分

17【答案】(Ⅰ)记第一组的4人分别为
;第二组的5人分别为

设“从第一组选出
人,从第二组选出
人”组成的基本事件空间为
,则

共有30种

设“选出的
人均是男生”为事件
,则
,共3种

,所以选出的
人均是男生的概率为

(Ⅱ)设“选出的
人中有男生也有女生”为事件
,设“都是女生”为事件
,

则

所以选出的
人中有男生也有女生的概率为

18[解析]　(1)设x<0，则－x>0，

∵f(x)是偶函数，

∴f(x)＝f(－x)＝ln(－x)＋ax(x<0)．

(2)∵f(x)是偶函数，

∴f(x)＝0的根关于x＝0对称，又f(x)＝0恰有5个实数根，则5个根有两正根，两负根，一零根，且两正根与两负根互为相反数，

∴原命题可转化为：当x>0时，f(x)的图像与x轴恰有两个不同的交点．

下面就x>0时的情况讨论．

∵f′(x)＝－a，

∴当a≤0，f′(x)>0，f(x)＝lnx－ax在(0，＋∞)上为增函数，

故f(x)＝0在(0，＋∞)上不可能有两个实根．

a>0时，令f′(x)＝0，x＝.

当00， f(x)递增，

当x>时，f′(x)<0，f(x)递减，

∴f(x)在x＝处取得极大值－lna－1，则要使f(x)在(0，＋∞)有两个相异零点，如图．

∴只要：－lna－1>0，即lna<－1，

得：a∈.

19解：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC(平面ABCD，∴AC⊥PC，

∵AB＝2，AD＝CD＝2，∴AC＝BC＝，

∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC，

又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC，

∵AC(平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC． …5分



（Ⅱ）由PC＝，知△PBC为等腰直角三角形，则S△BCE＝S△PBC＝，

由（Ⅰ），AC为三棱锥A—BCE高． …7分

Rt△PCA≌Rt△PCB≌Rt△ACB，PA＝PB＝AB＝2，则S△ABE＝S△PAB＝，

设三棱锥C—ABE的高为h，则

S△ABE·h＝S△BCE·AC，×h＝××，h＝，

故三棱锥C—ABE的高等于． …12分

20【答案】解 (1)因为b=2,△F1MF2是等腰直角三角形,所以c=2,所以a=2,

故椭圆的方程为+=1.

(2)证明:①若直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+m,A点坐标为(x1,y1),B点坐标为(x2,y2),

联立方程得,消去y,得

(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,

则x1+x2=-,x1x2=.

由题知k1+k2=+=8,

所以+=8,

即2k+(m-2)=8.

所以k-=4,整理得m=k-2.

故直线AB的方程为y=kx+k-2,

即y=k-2.

所以直线AB过定点.

②若直线AB的斜率不存在,设直线AB的方程为x=x0,A(x0,y0),B(x0,-y0),

则由题知+=8,

得x0=-.此时直线AB的方程为x=-,显然直线AB过点.

综上可知,直线AB过定点.

21