西南大学附中2012—2013学年度下期期中考试

高二数学试题（理科）

（总分：150分 考试时间：120分钟）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，

只有一项是符合题目要求的．

复数
对应的点在第几象限（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

已知
～N(0，
)，
，则
（ ）

A．0.036 B．0.964 C．0.018 D．0.968

函数
的极大植与极小值分别为（ ）

A．极小值为– 3，极大值为– 1 B．极小值为– 16，极大值为4

C．极小值为– 1，极大值为0 D．极小值为– 3，极大值为1

若
，则下列结论不正确的是（ ）

A．
B．

C．
D．

从个位与十位数字之和为偶数的两位数中任取一个，其个位数字为0的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

函数
的最小值为（ ）

A．3 B．
C．2 D．1

现有2名学生代表，2名教师代表和1名家长代表合影，则同类代表互不相邻的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

函数
的最小值为（ ）

A．
B．
C．0 D．

已知可导函数
为定义域上的奇函数，
．当
时，有
，则
的取值范围为（ ）

A．
B．

C．
D．

函数
，对任意的
时，
恒成立，则a的范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．

复数
的实部为____________．

计算
____________．

设一次试验成功的概率为P，进行100次独立重复试验，则成功次数
的方差的最大值为____________．

一个口袋中有大小相同的3个红球和2个白球，从袋中每次至少取一个球，共3次取完，并将3次取到的球分别放入三个不同的箱中，则不同的放法共有____________种．

对任意实数
和b，不等式
恒成立，则实数x的取值范围是____________．

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

(本小题满分13分)

我校模拟联合国小组共5人，其中3人从来没有参加过模拟联合国的比赛，2人曾经参加过模拟联合国的比赛．

现从中选2人参加本年度的模拟联合国比赛，求恰好有1人曾参加过模拟联合国比赛的概率？

若从该组中任选2人参加本年度模拟联合国比赛，比赛结束后，该小组没有参加过模拟联合国比赛的学生人数为
，求
的数学期望．

(本小题满分13分)

已知
．

若曲线
在
处的切线与直线
平行，求a的值；

当
时，求
的单调区间．

(本小题满分13分)

已知
且
，求证：
．

(本小题满分12分)

已知数列
，且
．

求a1，a2，a3；

猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．

(本小题满分12分)

已知函数
．

讨论函数
在定义域内的极值点的个数；

若函数
在x = 1处取得极值，存在
使
有解，求实数n的取值范围；

当
时，试比较
的大小．

(本小题满分12分)

已知函数
．

证明：对
恒成立；

时，证明：
．

西南大学附中2012—2013学年度下期期中考试

高二数学试题参考答案（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

1—5 DBDDD 6—10 ABDAC

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．
12．
13．25 14．27 15．

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16． 解：(1)

(2)

17．解：(1) 由题意得
时

∴

∴

(2) ∵
，∴

∴
，令
，得

令
，得

∴
单调递增区间为
，

单调递减区间为

18．证法：∵
∴
∴

又∵

∴
∴

综上：

19．解：(1)
，猜想

(2) 假设
成立，即

下证
时

∴由
解得

综上，
，

20．解：(1)

当
时，
无极值

当
时，
时
，

，

∴
为极小值，无极大值

(2)
∴
∴

由题
在
有解

∴
有解，令
，即
，

，

∴

∴

(3) 由 (2) 知
在 (0，4)

∵
∴

∴
∴

当
时
∴

当
时
∴

21．证明：(1) ∵
，外函数
，内函数

∴
在R上递减

∵
在

∴
在

∴

(2)

已证

∴
（n为奇数时）

∴ 当n为奇数时，

由错位相减易证：

当n为偶数时

所求

綜上，原不等式成立

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