一、选择题（本大题共9个小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填入答题区域中。）

1. 已知集合
,集合
,则
( )

A.
B.
C.
D.

5. 若函数
满足
,且当
时,
,则函数
的零点个数为( )

A.个 B. 个 C. 个 D. 个

6.过点
且与曲线
在点
处的切线垂直的直线方程为( )

A.
B.
C.
D.

7.设
是双曲线
的两个焦点，过点
作与轴垂直的直线和双曲线的一个交点为，满足
，则双曲线的离心率为( )

A.
B.
C.
D.不确定，与取值有关

8.已知抛物线
焦点的弦长为
，则此弦所在直线的倾斜角是( )

A.
或
B.
或
C.
或
D.

9. 定义在上的可导函数
，当
时，
恒成立，
，则
的大小关系为 （ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共7个小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分。把答案填在答题区域中对应题号后的横线上。）

（一）选做题（请考生在第10、11两题中任选一道作答，如果全做，则按前一题给分）

10. (优选法与试验设计初步)在调试某设备的线路中,要选一个电阻,但调试者手中只有阻值为
七种阻值不等的定值电阻,若用分数法进行4次优选试验,依次将电阻从小到大安排序号,则第三个试点的阻值可能是

.

11.（坐标系与参数方程）在极坐标系中，已知圆C的圆心是
，半径为1，则圆C的极坐标方程为 ．

（二）必做题（1216题））

12. 已知二项式
展开式的前三项的系数成等差数列，则= ．

14. 已知
，
，
，…，

均为正实数，类比以上等式，可推测
的值，

则
．

15. 在
中，
，则角的最大值为 ．

16. 数列
满足
,
,

,则(1)
;

(2)其前项和
.

18．（本小题满分12分）

已知函数

，且
的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点
．

（1）求的值；

（2）若函数
在
上的图象与轴的交点分别为
、
，求
与
的夹角．

20．（本小题满分13分）

为综合治理交通拥堵状况，缓解机动车过快增长势头，一些大城市出台了“机动车摇号上牌”的新规．某大城市2012年初机动车的保有量为600万辆，预计此后每年将报废本年度机动车保有量的5%，且报废后机动车的牌照不再使用，同时每年投放10万辆的机动车牌号，只有摇号获得指标的机动车才能上牌．经调研，获得摇号指标的市民通常都会在当年购买机动车上牌．

（1）问：到2016年初，该城市的机动车保有量为多少万辆；

（2）根据该城市交通建设规划要求，预计机动车的保有量少于500万辆时，该城市交通拥堵状况才真正得到缓解．问：至少需要多少年可以实现这一目标．

（参考数据：
，
，
，
）

21．（本小题满分13分）

已知椭圆E的中心在坐标原点
，焦点在轴上，离心率为
，且椭圆E上一点到两个焦点距离之和为4；
，
是过点
且相互垂直的两条直线，
交椭圆E于，两点，
交椭圆E于
，两点，
，
的中点分别为
，
．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）求直线
的斜率
的取值范围；

（3）求证直线
与直线
的斜率乘积为定值．

22．（本小题满分13分）

已知函数
，
，
．

（1）若函数
在区间
上不是单调函数，试求的取值范围；

（2）直接写出（不需要给出演算步骤）函数

的单调递增区间；

（3）如果存在
，使函数
，
在
处取得最小值，试求
的最大值．

答案

一、选择题：本大题共9个小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填入答题区域中．

题序

1

2

3

4

5

6

7

8

9



答案

B

D

A

D

D

B

C

B

A



二、填空题：本大题共7个小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题区域中对应题号后的横线上．

（一）选做题（请考生在第10、11两题中任选一道作答，如果全做，则按前一题给分）

三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．

【解】(Ⅰ) 由频率分布直方图可知第一组和第六组的频率为

1-(0.006+0.024+0.028+0.030)=0.12………………………………………………………2分

又由题知,第一组与第六组频率之比为1:2,所以两组频率分别为0.04、0.08…………4分

所以这两组别有学生人数为50×0.04=2,50×0.08=4……………………………………6分

(Ⅱ)记
中的学生为
,
中的学生为
,由题意可得,基本事件为:

;

共12个,…………………………………………………………………………………………10分

事件
{
同时被选中}发生有

三种,所以由古典概型知,

…………………………………………………………………………………12分

18．

【解析】 （1）由题可知，
，即
； ………… …… …… …… 1分

，即
，
，
． ………… …… …… …… 2分

∴
， 又其图象过点
，

∴
，即
，
，

∴
（
），而
，

故
． …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… 6分

（2）由（1）可知，
，

∴ 由函数
的图象易知，
，
， …… …… …… …… 8分

又
，故
，
．

∴
，即
与
的夹角为
． …… 12分

（3）解：在平面
内，过作
于
，连

∵平面
平面
，∴
平面

∴
为
和平面
所成的角 ………………………………10分

设
，则

，

中，

∴直线
和平面
所成角的正弦值为
………………………………………12分

（用空间向量法解答对应给分）

20．（本小题满分13分）

为综合治理交通拥堵状况，缓解机动车过快增长势头，一些大城市出台了“机动车摇号上牌”的新规．某大城市2012年初机动车的保有量为600万辆，预计此后每年将报废本年度机动车保有量的5%，且报废后机动车的牌照不再使用，同时每年投放10万辆的机动车牌号，只有摇号获得指标的机动车才能上牌．经调研，获得摇号指标的市民通常都会在当年购买机动车上牌．

（1）问：到2016年初，该城市的机动车保有量为多少万辆；

（2）根据该城市交通建设规划要求，预计机动车的保有量少于500万辆时，该城市交通拥堵状况才真正得到缓解．问：至少需要多少年可以实现这一目标．

（参考数据：
，
，
，
）

（2）由题可知，
，即
，

∴
，

故至少需要8年时间才能实现目标． …… …… …… …… …… …… …… 13分

21．（本小题满分13分）

已知椭圆E的中心在坐标原点
，焦点在轴上，离心率为
，且椭圆E上一点到两个焦点距离之和为4；
，
是过点
且相互垂直的两条直线，
交椭圆E于，两点，
交椭圆E于
，两点，
，
的中点分别为
，
．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）求直线
的斜率
的取值范围；

（3）求证直线
与直线
的斜率乘积为定值．

【解析】 （1）设椭圆E的方程为
，

由
得
所以所求椭圆E的标准方程为
． …… 4分

（3）设
，
，
，那么
，

则
，
，

即
， …… …… …… …… …… …… …… …… 10分

同理可得
，即
，

∴
，即直线
与直线
的斜率乘积为定值
．

…… …… …… …… …… …… …… …… …… …… 13分

22．（本小题满分13分）

已知函数
，
，
．

（1）若函数
在区间
上不是单调函数，试求的取值范围；

（2）直接写出（不需要给出演算步骤）函数

的单调递增区间；

（3）如果存在
，使函数
，
在
处取得最小值，试求
的最大值．

其值域为
，从而的取值范围为
． …… …… …… …… …… 4分

（2）当
时，不存在增区间；

当
时，增区间为
；

当
时，增区间为
；

当
时，增区间为
． …… …… …… …… …… …… …… 8分

（3）
，

据题意知，
在区间
上恒成立，即

①

当
时，不等式①恒成立；

当
时，不等式①可化为
②

令
，由于二次函数
的图象是开口向下的抛物线，故它在闭区间上的最小值必在区间端点处取得，又
，

∴ 不等式②恒成立的充要条件是
， …… …… …… …… …… …… 10分