宽甸二中2012-2013（下）高二年级期中阶段测试

高二（数学）试卷（理）

满分：150分 考试时间：120分钟

一．选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．复数
的实部是（ ）

A．
B．
C．
D．
．

2.
在区间
上的最大值是（ ）

A．
B．0 C．2 D．4

3．某公司有员工49人，其中30岁以上的员工有14人，没超过30岁的员工有35人，为了解员工的健康情况，用分层抽样的方法抽一个容量为7的样本，其中30岁以上的员工应抽多少( )

A．2人 B．4人 C．5人 D．1人

4.下列程序的运算结果为

A .20

B. 15

C .10

D. 5

是

5．
的展开式中，
的系数为 （ ）

A．－40 B．10 C．40 D．45

6. 已知
～
，且
，则
等于( )

A.
B.
C.
D.

7.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数有 （ ）

A．6种 B．24种 C.180种 D．90种

8.由曲线
与
的边界所围成区域的面积为

A.
B.
C.1 D.

9.已知
在
上递增，则
的范围是(　　)

A．
B．
C．
D．

10.一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为
，则此射手每次击中的概率是（ ）

A．
B.
C.
D.

11．从
的展开式中任取一项，则取到有理项的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

12.一个盒子内部有如图所示的六个小格子，现有桔子、苹果和香蕉各两个，将这六个水果随机放在这六个格子里，每个格子放一个，放好之后每行每列的水果种类各不相同的概率（ ）

















A.
B.
C.
D.

二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.设函数
,函数
在（1，g（1））处的切线方程是
，则y=
在点（1,f(1)）处的切线方程为 。

14.设
(其中
为自然对数的底数)，则
= .

15.在平面直角坐标系
中，设
是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，
是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向
中随机投一点，则所投点在
中的概率是　　　

16．给出下列命题：

①函数
的零点有2个

②
展开式的项数是6项

③函数
图象与
轴围成的图形的面积是

④若
，且
，则

其中真命题的序号是 （写出所有正确命题的编号）。

三．解答题：（本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. （本小题满分10分）在
中，
,过点
的直线与其外接圆交于点
，交
延长线于点
.

（1）求证：
； （2）若
，求

18. （本小题满分12分）为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性

别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：

（1）估计该校男生的人数；（2）估计该校学生身高在170～185㎝之间的概率；

（3）从样本中身高在165～180㎝之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在170～180㎝之间的概率；

19．（本小题满分12分）一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是
.

（1）求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；

（2）求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列；

（3）这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．

20．（本小题满分12分）已知
为偶函数，曲线
过点（2,5）,
.

（1）若曲线
有斜率为0的切线，求实数
的取值范围；

（2）若当
时函数
取得极值，确定
的单调区间.

21. （本小题满分12分）设
和
分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量
表示方程
实根的个数（重根按一个计）．

（1）求方程
有实根的概率；

（2）求
的分布列和数学期望；

（3）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程
有实根的概率.

22. （本小题满分12分）已知函数
.

（1）若
，求曲线
在点
处的切线方程；

（2）若函数
在其定义域内为增函数，求正实数
的取值范围；

（3）设函数
，若在
上至少存在一点
，使得
＞
成立，求实数
的取值范围。

宽甸二中2012-2013（下）高二期中

数学（理科）试卷答案

一．选择题：

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



B

C

A

A

D

A

D

A

D

B

B

A



二．填空题：

13.
14.
15.
16. ④

三．解答题：

17.解：（1）证明：

,
,
～
,

.

(2)

～
,

18.解：（1）样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10﹪估计全校男生人数为400.

(2)由统计图知，样本中身高在170～185㎝之间的学生有14+13+4+3+1=35人。样本容量为70，所以样本中学生身高在170～185㎝之间的频率为0.5，故可估计该校学生身高在170～185㎝之间的概率
.（3）样本中女生身高在165～180㎝之间的人数为10，身高在,170～180㎝之间的人数为4.设
表示事件“从样本中身高在165～180㎝之间的女生中任取2人，至少有1人身高在170～185㎝之间”，

则

19．解：（1）由于
～
，则

，

所以
的分布列为：

0

1

2

3

4

5





















（2）
也就是说{前
个是绿灯，第
个是红灯},
也就是说（5个均为绿灯)，则

，

；所以
的分布列为：

0

1

2

3

4

5





















（3）所求概率

20. 解：(1)
为偶函数，故对
，总有
，易得
，

又曲线
过点（2,5），得
，得
，
，

.

曲线
有斜率为0的切线，故
有实数解.此时有

，解得

（2）因
时函数
取得极值，故有
，解得

又
，令
，得
.

当
时，
，

当
时，
，

从而
为
的单调递增区间，
为
的单调递增区间。

21.解：（1）基本事件总数为
，

若使方程有实根，则
，即
。

当
时，
；。当
时，
；当
时，
；

当
时，
；当
时，
；当
时，
,

目标事件个数为
因此方程
有实根的概率为

（2）由题意知，
，则
，

，

故
的分布列为

0

1

2



P










的数学期望

（3）记“先后两次出现的点数中有5”为事件M，“方程
有实根” 为事件N，则
，
，
.

22.解：（1）当
时，函数
，
． 　　　　　　　　　　　

，

曲线
在点
处的切线的斜率为
． …………2分

从而曲线
在点
处的切线方程为
，

即
． ………3分

（2）
． …………4分

令
，要使
在定义域
内是增函数，只需
在
内恒成立. ……………5分

由题意
＞0，
的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为
，∴
，

只需
，即
，

∴
在
内为增函数，正实数
的取值范围是
. ………7分

（3）∵
在
上是减函数，

∴
时，
；
时，
，即
， ……8分

①当
＜0时，
，其图象为开口向下的抛物线，对称轴
在
轴的左侧，且
，∴

在

内是减函数．

当
时，
，因为

，所以
＜0，
＜0，

此时，
在

内是减函数．

故当
时，
在
上单调递减
，不合题意…10分

②当0＜
＜1时，由
，

所以
．

又由（Ⅱ）知当
时，
在
上是增函数，

∴
＜
，不合题意； ……………12分

③当
时，由（Ⅱ）知
在
上是增函数，
，

又
在
上是减函数，

故只需
＞
，
，

而
，
，即
，

解得
＞
，所以实数
的取值范围是
. ……15分