绵阳中学高2011级高一下期第二学月考试

理科数学试题

总分：120分 时间100分钟

一、选择题（5×10=50分）

1．下列命题中真命题是（ ）

A.
B.

C.
的充要条件是
D.
是
的充分条件

2．若向量


满足条件
则
为（ ）

A. -2． B．4

C．2 D．- 4

3.设函数
，则（ ）

A.
为
的极大值点 B.
为
的极小值点

C.
为
的极大值点 D.
为
的极小值点

4．过抛物线
的焦点
作倾斜角为
的直线交抛物线于
、
两
点，若
的长为
，则
=（ ）

A．2 B．1 C．
D．4.

5．曲线
在点
处的切线与直线
和
围成三角形的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．1

6．正方体
中
与平面
所成的角的余弦值为（ ）

A．
B．
C．
D．
[来源:学+科+网Z+X+X+K]

7. 若函数
，则（ ）

A. 有最大值，但无最小值 B.有最大值，
也有最小值

C. 无最大值，也有最小值 D. 既无最大值，也无最小值

8.设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．直三棱柱
中，若

则异面直线
与
所成的角等于（ ）

A．
B．
C．
D．

10.已知
为椭圆
上的两个焦点，
是过焦点
的一条动弦，则
的面积的最大值为（ ）

A．
B．
C．1 D．

二、填空题（5×5＝25分）

11．命题“存在
，使得
”的否定是 。

12．已知F1、F2是椭圆C：

的两个焦点，P为椭圆C上一点，且PF1
PF2，若ΔP F1 F2的面积为9，则b=________

13．如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长为

14．已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为
，价格p与产量q的函数关系式为
．求产量q等于_________，利润L最大。

15.下列说法正确的有

（1）直线与平面所成的角
的范围是

（2）函数
在区间
上连续可导，则
是函数
在区间
上为增函数充要条件

（3）已知
为两定点，
动点
满足
则动点
的轨迹 为双曲线的一支

（4）函数
的单调增区间为：

填正确命题的序号

三、解答题（共45分）

16．设有两个命题．命题p：不等式
的解集
是
；

命题q：函数

在定义域内是增函数．

如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求a的取值范围．

17．设函数
曲线
过
，且在
点处的切斜线率2.

（1）求
的值；

（2）证明：
。

18．如图，四边形
为正方形，
⊥平面
，
∥
，

（1）证明：平面
⊥平面
；

（2）求二面角
的余弦值．

（3）求点P到平面
的距离

19．设椭圆E：
过
，
两点，O为坐标原点

（1）求椭圆E的方程；

（2）是否存在圆心在原点的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A、B，且
?若存在，写出该圆的方程；若不存在，说明理由。

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理科数学答卷

二、填空题

11． 12． 13．

14． 15．

三、解答题

16．（10分）设有两个命题．命题p：不等式
的解集是
；

命题q：函数
在定义域内是增函数．如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求a的取值范围．

17．（10分）设函数
曲线
过
，且在
点处的切斜线率2.

（1）求
的值；

（2）证明：
。

[来源:学科网]

18．（12分）如图，四边形
为正方形，
⊥平
面
，
∥
，

（1）证明：平面
⊥平面
；

（2）求二面角
的余弦值．

（3）求点P到平面
的距离

19．（13分）设椭圆E：
过
，
两点，O为坐标原点

（1）求椭圆E的方程；

（2）是否存在圆心在原点的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A、B，且
?若存在，写出该圆的方程；若不存在，说明理由。[来源:学科网ZXXK]

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理科数学答案

一选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

C

D

A

A

D

D

D

B

B



二、填空题

11.
12． 3 13.
14． 8
4 15． ①③

三解答题

16. 解;
即
………………………………2分

4分

又p∧q为假命题，p∨q为真命题

………………………………10分

17. 解：（1）由
由已知条件得、

即
2分

4分

（2）
的定义域为
由（1）知

设

6分

当
时，
， 当
时，
8分

所以
在
上递增，在
递减。而
故当
时，
即

10分

18. 如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D—xyz.

（I）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）.

则

所以

即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.[来源:Zxxk.Com]

故PQ⊥平面DCQ.

又PQ
平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ. …… ……4分

（II）依题意有B（1，0，1），

设
是平面PBC的法
向量，则

因此可取

设m是平面PBQ的法向量，则

可取

故二面角Q—BP—C的余弦值为
………………8分

(3)设
到平面
距离为
，由

[来源:学科网]

12分

19. （1）因为椭圆E:
（a,b>0）过M（2，
） ，N(
,1)两点,

所以

解得
所以
椭圆E的方程为
5分

（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条
切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且
,设该圆的切线方程为
解方程组
得
,即
,

则△=
,、

即

7分

要使
,需使
,即
,

所以
,所以
又
,所以
,

所以
,即
或
,因为直线
为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为

,
,
,

所求的圆为
,此时圆的切线
都满足
或
,

而当切线的斜率不存在时切线为
与椭圆
的两个交点为
或
满足
,

综上, 存在圆心在原点的圆
，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且
. 13分