德化一中2013年春季高二年第二次质量检查

数 学（理）

本试卷分三大题，共4页。满分150分，考试时间120分钟

注意事项：

1．答题前，考生先将姓名、班级和号数等考生信息填写在答题卡密封线内。

2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。

3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的．）

1．若
，则
的值为( )

A.6 B.7 C.35 D.20

2．下面几种推理中是演绎推理的是( )

A.由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电；

B.猜想数列
的通项公式为

；

C.半径为
圆的面积
，则单位圆的面积
；

D.由平面直角坐标系中圆的方程为
，推测空间直角坐标系中球的方程为

3．已知函数
，则
等于( )

A．
B．
C．
D．

4．从
中得出第
个等式是( )

A.
B.

C.
D.

5． 若
，则
的值为( )

A.121 B.122 C.124 D.120

6．用反证法证明命题：“三角形的内角至多有一个钝角”，正确的假设是( )

A．三角形的内角至少有一个钝角 B．三角形的内角至少有两个钝角

C．三角形的内角没有一个钝角 D．三角形的内角没有一个钝角或至少有两个钝角

7. 如右图，阴影部分的面积是( )

A.
B.

C.
D.

8．在区间(0，1)内随机投掷一个点M(其坐标为x)，若
，则
( )

A．
B．
C．
D．

9. 已知随机变量
服从正态分布
，且
，则
=( )

A．0.6 B．0.4

C．0.3 D．0.2

10．将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲

同学不能分配到A班，那么不同的分配方案有( )

A．18种 B．24种　　　　　C．54种　　　　　D．60种

11．一个篮球运动员投篮一次得
分的概率为
，得
分的概率为
，得
分的概率为
（投篮一次得分只能
分、
分、
分或
分），其中
，已知他投篮一次得分的数学期望为
，则
的最大值为（ ）

A．
B．
C．
D．

12．如图，矩形
的一边
在
轴上，另外两个顶点
在函数

的图象上.若点
的坐标为

，记矩形
的周长

为
，则
( )

A.208 B. 216 C. 212 D.220

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答题填在题中的横线上）

13．已知
（
，
是虚数单位），则
的值为 ．

14．把语文、数学、英语、物理、化学这五门课程安排在一天的五节课里，如果数学必须比化学先上，则不同的排法有______________种

15．对于下列分布列有
＝______ ____.

－2

0

2



P

a



c



16. 在
展开式中
的系数是______________

17．对于三次函数
，定义
是
的导函数
的导函数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”，可以证明，任何三次函数都有“拐点”，任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，请你根据这一结论判断下列命题：

①任意三次函数都关于点
对称：

②存在三次函数
有实数解
，点
为函数
的对称中心；

③存在三次函数有两个及两个以上的对称中心；

④若函数
，则，

其中正确命题的序号为________________________(把所有正确命题的序号都填上）.

三、解答题（本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18．（本小题满分12分）

若
的展开式的二项式系数和为128.

(1)求
的值;

(2)求展开式中的常数项

(3)求展开式中二项式系数的最大项

19．（本小题满分13分）

已知数列
中，
，
（
）.

（1）计算
，
，
；

（2）猜想数列
的通项公式并用数学归纳法证明.

20．（本小题满分13分）

3个同学分别从a，b，c，d四门校本课程中任选其中一门，每个同学选哪一门互不影响；

（1）求3个同学选择3门不同课程的概率；

（2）求恰有2门课程没有被选择的概率；

（3）求选择课程a的同学个数的分布列及数学期望.

21．（本小题满分13分）

某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随即在这两条流水线上各抽取
件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量值落在
的产品为合格品，否则为不合格品．图
是甲流水线样本的频率分布直方图，表
是乙流水线样本频数分布表．

(1) 求从甲流水线上任取一件产品为合格品的频率；

(2)若以频率作为概率，试估计从甲流水线上任取
件产品(看作有放回的抽样)，求其中合格品的件数
的数学期望及其方差；

(3)从乙流水线样本的不合格品中任意取
件，求其中超过合格品重量的件数
的分布列及期望；

22．（本小题满分14分）

已知函数
的图象过坐标原点O，且在点
处的切线的斜率是-5.

(1)求实数b、c的值；

(2)求
在区间[-1，2]上的最大值；

(3)对任意给定的正实数
，曲线
上是否存在两点P、Q，使得
是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴. 若存在请证明，若不存在说明理由.

德化一中2013年春季高二年第二次质量检查

数学（理）参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的．）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

C

A

C

B

B

C

A

C

B

D

B



二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答题填在题中的横线上）

13. -2 14 . 60 15. 0.4

16. 9 17. ①②④

三、解答题（本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18．（本小题满分12分）

解：(1)
…………………………………………………3分

(2)
,令
,
,常数项为
…………8分

(3)
…………………………………………12分

19．（本小题满分13分）

解：（1）
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 3分

（2）猜想
…………………………………………………6分

证明：①当
时，结论显然成立…………………………………………………8分

②假设
时，结论成立，即

那么当
时，

即当
时，等式成立．

由①②知，
对一切自然数
都成立．……………………13分

20．（本小题满分13分）

解：（1）记“3个同学选择3门不同课程”为事件A，则
…………4分

(2)记“恰有2门课程没有被选择”为事件B，则
……………8分

(3)设选择课程
的人数为
，则
，

…………………………………………11分

的分布列如下：

0

1

2

3

















从而
……………………………………13分

21．（本小题满分13分）

解：(1)由图１知，甲样本中合格品数为
，

故合格品的频率为
……………………………………2分

(2)据此可估计从甲流水线上任取一件产品该产品为合格品的概率
，则
，故
,
……………… 6分

(3)由表1知乙流水线样本中不合格品共10个,超过合格品重量的有4件；

则
的取值为
；且
，于是有：

∴
的分布列为

0

1

2















…………………………………………11分

EY=0
…………………………………………13分

22．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）当

依题意，得
解得b=c=0. …………4分

（II）由（I）知，

①当

令
x变化时，
的变化如下表：

（-1，0）

0











-

0

+

0

-





单调递减

极小值

单调递增

极大值

单调递减



又

上的最大值为2.②当
时，

当
当
上单调递增，

在[1，2]上的最大值为
综上所述，

当
在[-1，2]上的最大值为2；

当
在[-1，2]上的最大值为
…………10分

（III）假设曲线
上存在两点P、Q满足题设要求，

则点P、Q只能在y轴的两侧，不妨设
则

为直角三角形，
（1）

是否存在P、Q等价于方程（1）是否有解.若
代入（1）式得，

即
，而此方程无实数解 ，

因此

代入（1）式得，

即
（*）考察函数

则

上单调递增，

当
，

的取值范围是

方程（*）总有解，即方程（1）总有解.

因此对任意给定的正实数a，

曲线
上总存在两点P、Q使得
是以点O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上. …………14分