德化一中2013年春高二年第二次质量检查试卷

数学（文）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题有且只有一个选项是正确的）

1．复数
在复平面上对应的点位于（ ）

A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2．函数
的定义域为
，那么其值域为（ ）　　 　　　　　　　

A．
B．
C．
D．

3．下面几种推理中是演绎推理的是（ ）

A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电；

B．猜想数列
的通项公式为

；

C．半径为
圆的面积
，则单位圆的面积
；

D．由平面直角坐标系中圆的方程为
，推测空间直角坐标系中

球的方程为

4．下列有关命题的说法正确的是 （ ）

A．命题“若
”的否命题为：“若
”

B．“x=-1”是“
”的充要条件

C．命题“
”的否定是：“
”

D．命题“若
”的逆否命题为真命题

5．已知双曲线的
,则该双曲线的标准方程为（ ）

A．
B．
或

C．
D．
或

6．已知函数
，若
，则
的值是（ ）

A．
B．
C．
D．

7．若集合
，
，则“
”是“
”的（ ）

?? A．充要条件 B．充分不必要条件?

C．必要不充分条件?? D．既不充分又不必要条件

8．函数
的导数
的图象如右图所示，下列说法正确的是（ ）

A．函数
在
处取得极小值

B．函数
在
处取得极小值

C．函数
在
处取得极小值

D．函数
在
处取得极大值

9．有一串彩旗，▼代表蓝色，▽代表黄色。两种彩旗排成一行如下所示：

▽▼▽▼▼▽▼▽▼▼▽▼▽▼▼…

那么在前200个彩旗中有（ ）个黄旗。

A. 80 B. 82 C. 84 D. 78

10．若偶函数f（x）在
上是增函数，则 （ ）

A.
B.

C.
D.

11．已知椭圆
的右焦点
,且
是椭圆上的一点，O为坐标原点,若三角形
为等边三角形，则椭圆的离心率（ ）

A.
B.
C.
D.

12．对于函数
，如果存在区间
，同时满足下列条件：①
在
内是单调的；②当定义域是
时，
的值域也是
，则称
是该函数的“梦想区间”．若函数
存在“梦想区间”，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分，请把答案填在答卷相应位置上）

13．已知
与
之间的一组数据如下，则
与
的线性回归直线方程
必过

点 ___

x

0

1

2

3



y

1

3

5

7





14．如图，已知
,集合
,

，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为_________.

15．已知函数
是定义在R上的奇函数，当
时，
，则
的值是 .

16．已知函数
是
上的减函数，则实数
的取值范围是 _____. 17．已知函数
，当
时，
只有一个实数根；当
3个相异实根，现给出下列4个命题：

①函数
有2个极值点； ②函数
有3个极值点；

③关于x的方程
=4与方程
=0有一个相同的实根

④关于x的方程
=0和
=0有一个相同的实根

其中正确命题的序号有________________.

三、解答题（本大题共5小题，共65分，请把答案填在答卷相应位置上）

18.（本题满分12分）

已知
，
：
，
：
．

（1）若
，“
或
”为真命题，“
”为真命题，求实数
的取值范围．

（2）若
是
的充分不必要条件，求实数
的取值范围；

19．（本小题满分13分）

已知双曲线
，焦距2c=4，过点
，

（1）求双曲线的标准方程及其渐近线方程。

（2）直线
：
与双曲线有且仅有一个公共点，求
的值。

20．（本题满分13分）

一艘轮船1小时的燃料费
元与速度
(公里
小时)的函数关系为
。已知速度为每小时10公里时，燃料费是每小时5元，而其它和速度无关的费用是每小时80元。

(1)求
的值；

(2)已知甲，乙两地相距100公里，问该轮船以多大的速度行驶时，从甲地行驶到乙地所需的费用总和为最小？

21．（本小题满分13分）

已知过抛物线
的焦点，斜率为

的直线
交抛物线于

（
）两点，且
．

（1）求直线
的方程；

（2）若点
是抛物线弧
上的一点，

求
面积的最大值，并求出点C的坐标。

22. （本小题满分14分）已知函数
，其中
。

（1）若
，求函数
的单调递减区间；

（2）若函数
的图象上任意一点处切线的斜率
恒成立，求实数
的取值范围；

（3）若函数
在
上有两个零点，求实数
的取值范围.

德化一中2013年春高二年第二次质量检查数学（文）试卷参考解答

一、选择题 BACD BCBC ADAD

二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分，请把答案填在答卷相应位置上）

13．
14.
15. -1 16．
17．①③④

三、解答题（本大题共5小题，共65分，请把答案填在答卷相应位置上）

18.（本题满分12分）已知
，
：
，
：
．

（1）若
，“
或
”为真命题，“
”为真命题，求实数
的取值范围．

（2）若
是
的充分不必要条件，求实数
的取值范围；

18．解：
：
， ……2分

（1）当
时，
：
……………3分

依题意，
假
真， 由
，得
．

∴实数
的取值范围为
． ……………6分

(2)∵
是
的充分条件，∴
是
的子集． ……………9分

∴
，得
，∴实数
的取值范围为
． ……………12分

19．（本小题满分13分） 已知双曲线
，焦距2c=4，过点
，（1）求双曲线的标准方程及其渐近线方程。

（2）直线
：
与双曲线有且仅有一个公共点，求
的值。

解析：由已知得：双曲线的焦点为
，
……………(1分)

……………(3分)

所以双曲线的方程为
……………(5分)

双曲线的渐近线：
， ……………(6分)

（2）联立
消y得：
。……………(8分)

当
时，即
，
，

此时直线
与双曲线有且仅有一个公共点 ，满足题意。 ……………(10分

当
时，
。解得
。……………(12分)

综上所述
或
。……………(13分)

20．（本题满分13分）

一艘轮船1小时的燃料费
元与速度
(公里
小时)的函数关系为
。已知速度为每小时10公里时，燃料费是每小时5元，而其它和速度无关的费用是每小时80元。

（1）求
的值；

（2）已知甲，乙两地相距100公里，问该轮船以多大的速度行驶时，从甲地行驶到乙地所需的费用总和为最小？

20．解. （1） 1小时的燃料费
元与速度
(公里
小时)的函数关系为p=k
。

又∵5=k
, ∴k=0.005. …………4分

（2）由（1）得p=0.005
，（
>0）

设从甲地行驶到乙地所需的费用总和为y元，

则y=
=
. （
>0）…………6分

∴
=
,由
=0，得
=20（公里/小时）。 …………9分

又∵当
<20时，
<0;当
>20时，
>0.

∴当速度为20公里/小时时，航行所需的费用总和为最小，最小值为600元。………13分

21．（本小题满分13分）已知过抛物线
的焦点，斜率为

的直线
交抛物线于

（
）两点，且
．

（1）求直线
的方程；

（2）若点
是抛物线弧
上的一点，

求
面积的最大值，并求出点C的坐标。

21. 解析：（1）抛物线
的焦点
……………1分

设直线AB的方程是
，……………2分

联立
，整理得
……………3分

所以：
，由抛物线定义得：
，

所以
，
因为
，所以
，直线方程为：
……………6分

（2）设与直线
平行的直线方程为
，由题意可知当该直线与抛物线相切时，该切点到直线
的距离最大，
，令
，解得
…………10分

所以点
，点C到直线AB距离
，…………11分

。 …………13分

22. （本小题满分14分）已知函数
，其中
。

（1）若
，求函数
的单调递减区间；

（2）若函数
的图象上任意一点处切线的斜率
恒成立，求实数
的取值范围；

（3）若函数
在
上有两个零点，求实数