临沭一中2012-2013学年高二12月学情调查数学（理）试题

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟，考试结束后，将答题卡和答题纸一并交回,试卷不用交回。

注意事项：

1. 答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、班级、座号、准考证号，写在自己的答题卡和试卷规定的位置上.

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答案不能答在试卷上。

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．在△ABC中，a＝2bcosC，则该三角形一定是(　　)

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形

2．直线3x＋2y＋5＝0把平面分成两个区域，下列各点与原点位于同一区域的是(　　)

A．(－3,4) B．(－3，－4)

C．(0，－3) D．(－3,2)

3．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m等于(　　)

A． 　 B．  C．  D． .或

4．在数列{an}中，a1＝－60，an＋1＝an＋3，则|a1|＋|a2|＋…＋|a30|等于(　　)

A．445 B．765 C．1 080 D．3 105

5．命题“p且q”与命题“p或q”都是假命题，则下列判断正确的是(　　)

A．命题“非p”与“非q”真假不同

B．命题“非p”与“非q”至多有一个是假命题

C．命题“非p”与“q”真假相同

D．命题“非p且非q”是真命题

6．公比为2的等比数列an的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10＝(　　)

A．4 B．5 C．6 D．7

7．关于x的不等式ax－b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是(　　)

A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(－1,3)

C．(1,3) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)

8．一条线段的长等于10，两端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，M在线段AB上且＝4，则点M的轨迹方程是(　　)

A．x2＋16y2＝64 B．16x2＋y2＝64

C．x2＋16y2＝8 D．16x2＋y2＝8

9．设x，y>0，且x＋2y＝3，则＋的最小值为(　　)

A．2 B. C．1＋ D．3＋2

10．在△ABC中，若三边a，b，c的倒数成等差数列，则边b所对的角为(　　)

A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不能确定

11．（普通班学生做）已知A和B两个命题，如果A是B的充分不必要条件，那么“綈A”是 “綈B”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

11. （对比班学生做）已知向量a＝ (x，y)，b＝(cosα，sinα)，其中x，y，α∈R，若|a|＝4|b|，则a·b<λ2成立的一个必要不充分条件是(　　)

A．λ>3或λ<－3 B．λ>1或λ<－1

C．－3<λ<3 D．－1<λ<1

12．（普通班学生做）等比数列{an}前n项的积为Tn，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是(　　)

A．T10 B．T13 C．T17 D．T25

12．（对比班学生做）设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是(　　)

A．X＋Z＝2Y

B．Y(Y－X)＝Z(Z－X)

C．Y(Y－X)＝X(Z－X)

D．Y2＝XZ

第II卷（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

13．已知命题p：“?x∈R，ex≤1”，则命题綈p是________．

14．若F1，F2是椭圆C：＋＝1的焦点，则在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为________．

15．若{an}是等比数列，其中a3，a7是方程x2－3kx＋2＝0的两个根，而且(a3＋a7)2＝2a2a8＋5，那么k的值为________．

16．已知实数x，y满足2x＋y≥1，则u＝x2＋y2＋4x－2y的最小值为________．

三、解答题：本大题共6小题，共74分.

17．(本小题12分)

已知命题
，命题
，若
是
的必要不充分条件，求实数
的取值范围．

18．(本小题12分)

设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.

(1)若S5＝5，求S6及a1；

(2)求d的取值范围．

19．（本小题满分12分）

某家庭要建造一个长方体形储物间，其容积为2400m，高为3m，后面有一面旧墙可以利用，没有花费，底部也没有花费，而长方体的上部每平方米的造价为150元，周边三面竖墙(即不包括后墙)每平方米的造价为120元，怎样设计才能使总造价最低？最低总造价是多少？

20．（本小题满分12分）

设数列{
}的前
项和为
,且
，
，数列{
}满足
，点
在直线
上，
.

（Ⅰ）求数列{
}，{
}的通项公式；

（Ⅱ）设
，求数列{
}的前
项和
.

21．(本小题12分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC.

(1)求内角B的大小；

(2)设
＝(sinA，cos2A)，
＝(4k,1)(k>1)，
的最大值为5，求k的值．

22．(普通班学生做 本小题14分)

已知椭圆
及直线
，

(1)当直线和椭圆有两个公共点，求实数
的取值范围．

(2)求被椭圆截得的最长线段
所在的直线方程．

22．(对比班学生做 本小题14分)

已知椭圆
：
.过点(
，
)作圆
的切线
交椭圆
于
，
两点．

(1)求椭圆
的焦点坐标和离心率；

(2)将|
|表示为
的函数，并求|
|的最大值．

临沭一中2011级阶段学情调研

数学（理科）答案（2012.12）

1． 解析：∵a＝2bcosC，∴a＝2b，∴b2＝c2，即b＝c.答案：A

2．解析：当x＝y＝0时，3x＋2y＋5＝5>0，所以原点一侧的平面区域对应的不等式是3x＋2y＋5>0，可以验证，仅有点(－3,4)的坐标满足3x＋2y＋5>0.答案：A

3．解析：∵a2＝2，b2＝m，e＝＝＝＝，∴m＝. 答案：B

11. （对比班学生做）解析：由已知|b|＝1，∴|a|＝4|b|＝4.又∵a·b＝xcosα＋ysinα＝sin(α＋φ)＝4sin(α＋φ)≤4，由于a·b<λ2成立，则λ2>4，解得λ>2或λ<－2，这是a·b<λ2成立的充要条件，因此a·b<λ2成立的一个必要不充分的条件是λ>1或λ<－1.故选B.

12．（普通班学生做）解析：a3·a6·a18＝··a9·q9＝a是一个确定常数，∴a9为确定的常数．

12．（对比班学生做）解析：由题意知Sn＝X，S2n＝Y，S3n＝Z.又∵{an}是等比数列．

∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n为等比数列，即X，Y－X，Z－Y为等比数列，

∴(Y－X)2＝X·(Z－Y)，即Y2－2XY＋X2＝ZX－XY.∴Y2－XY＝ZX－X2，即Y(Y－X)＝X(Z－X)．

14．∵椭圆C：＋＝1，∴c＝2.∴F1(－2,0)，F2(2, 0)，其短轴的端点为B(0,2)，A(0，－2)，

∴∠F1BF2＝∠F1AF2＝90°.又短轴端点与F1，F2连线所成的角是椭圆上动点P与F1，F2连线所成角中的最大角，∴在C上满足PF1⊥PF2的点有2个．答案：2

15．解析：由又a3·a7＝a2·a8. ∴(3k)2＝9，∴3k＝±3，∴k＝±1. 答案：±1

16．解析：由u＝x2＋y2＋4x－2y＝(x＋2)2＋(y－1)2－5知，u表示点P(x，y)与定点A(－2,1)的距离的平方与5的差．又由约束条件2x＋y≥1知：

点P(x，y)在直线l：2x＋y＝1上及其右上方．

问题转化为求定点A(－2,1)到由2x＋y≥1所确定的平面区域的最近距离．故A到直线l的距离为A到区域G上点的距离的最小值．

d＝＝，∴d2＝，∴umin＝d2－5＝－. 答案：－

答：当长方体的底面设计成长为40m,宽为20m的长方形时总造价最低，最低总造价是148800元

20．解：（Ⅰ）由
可得
，两式相减得
.又
,所以
.

故
是首项为，公比为
的等比数列.所以
.

由点
在直线
上，所以
.

则数列
是首项为1，公差为2的等差数列.则

（Ⅱ）因为
，所以
.

则
, 两式相减得：

所以

.

21．解：(1)由正弦定理及(2a－c)cosB＝bcosC，得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，

整理得：2sinAcosB＝sinBcosC＋sinCcosB＝sin(B＋C)＝sinA，

∵A∈(0，π)，∴sinA≠0，故cosB＝，∴B＝.

(2)m·n＝4ksinA＋cos2A＝－2sin2A＋4ksinA＋1，其中A∈(0，)，设sinA＝t，t∈(0,1]，

则m·n＝－2t2＋4kt＋1＝－2(t－k)2＋1＋2k2.又k>1，故当t＝1时，m·n取得最大值．

由题意得－2＋4k＋1＝5，解得k＝.

(1，－)．此时|AB|＝.

当m＝－1时，同理可得|AB|＝. 当|m|>1时，设切线l的方程为y＝k(x－m)．

由得(1＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－4＝0.

设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.

又由l与圆x2＋y2＝1相切，得＝1，即m2k2＝k2＋1.

所以|AB|＝＝

＝＝.

由于当m＝±1时，|AB|＝，所以|AB|＝，m∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．

因为|AB|＝＝≤2，且当m＝±时，|AB|＝2，所以|AB|的最大值为2.