台州中学2012学年第二学期第二次统练试题

高二 数学（理科）

一． 选择题：本大题共14小题，每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．根据导数的定义，
等于 （ ）

A．
B．

C．
D．

2．已知i为虚数单位，a为实数，复数
在复平面内对应的点为M，则“
”是“点M在第四象限”的 ( )

A．充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件

C．充要条件 　D． 既不充分也不必要条件

3． 用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程
有有理根，那么
中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是 ( )

A．假设
都是偶数 B．假设
都不是偶数

C．假设
至多有一个偶数 D．假设
至多有两个偶数

4．曲线
在
处的切线平行于直线
，则
点的坐标为（ ）

A．
B．
C．
和
D．
和

5．设离散型随机变量
满足
，
，则
等于 （ ）

A．27 B．24 C．9 D．6

6．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数
，若
，则
是函数
的极值点．因为
在
处的导数值
，所以
是
的极值点． 以上推理中 （ ）

A．大前提错误 B． 小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确

7． 在二项式
的展开式中，常数项等于 （ ）

A．﹣10 B．﹣15 C．10 D．15

8．设集合
．选择集合
的两个非空子集A和B，要使集合B中最小的数大于

集合A中最大的数，则不同的选择方法共有 （ ）

A
．16种 B．17种 C．18种 D．19种

9． 设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这5

个球随机放入这5个盒子内，要求每个盒子内放一个球，记“恰有两个球的编号与盒子的编

号相同”为事件
，则事件
发生的概率为 ( )

A
．
B．
C．
D．

10．已知函数
在
处取得极大值,在
处取得极小值,满足

,
,则
的取值范围是 ( )

A．
　B．
　　
C．
　 D．

11．设a、b、m为整数（m>0),若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m 同余．

记为a≡b(mod m)．已知a=2+C
+C
·2+C
·22+…+C
·219，b≡a(mon 10),则b的值可以是

（ ）

A
． 2015 B． 2012 C． 2008 D． 2006

12．已知
是可导的函数，且
对于
恒成立，则（ ）

A．

B．

C．

D．

13．在集合
的12元子集
中,恰有两个元素的差的绝对

值等于1，这样的12元子集
的个数为 （ ）

A
．
个 B．
个 C．
个 D．
个

14．5男6女共11个小孩做如下游戏：先让4个小孩（不全是男孩）等距离站在一个圆周的4个位置上，如果相邻两个小孩同为男孩或同为女孩，则在他（她）们中间站进一个男孩，否则站进一个女孩，然后让原来的4个小孩暂时退出，即算一次活动．这种活动按上述规则继续进行，直至圆周上所站的4个小孩都是男孩为止．这样的活动最多可以进行（ ）

A．2次 B．3次 C．4次 D．5次

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。

15． 若
,那么
的值是 ．[学

16．已知函数
则
等于 ．

17．已知
，则
= ．

18．甲、乙、丙
人站到共有
级的台阶上，若每级台阶最多站
人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）．

19． 观察下列等式

1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49

……

照此规律，第
个等式为

20．已知函数
的定义域为
，部分对应值如下表，
的导函数
的图象如图所示． 下列关于
的命题：

①函数
的极大值点为
，
；②函数
在
上是减函数；③如果当
时，
的最大值是2，那么
的最大值为4；④当
时，函数
有
个零点；⑤函数
的零点个数可能为0、1、2、3、4个．

其中正确命题的序号是 ．

三、解答题：本大题共5小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

21．设函数
，其中a∈R．已知
在
处取得极值．

（1）求
的解析式；

（2）求
在点
处的切线方程．

22．从8名运动员中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？（写出解题过程，否则不给分，答案用数字作答）

（1）若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒；

（2）若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒．

23．高考结束后某班学生要去旅游，已知甲寝室与乙寝室各有6位同学，每人选择一条线路。甲寝室选择去乌镇游玩的有1人，选择去横店游玩的有5人，乙寝室选择去乌镇游玩的有2人，选择去横店游玩的有4人，现从甲寝室、乙寝室中各任选2人分析游玩线路问题．

（1）求选出的4 人均选择游玩横店的概率；

（2）设
为选出的4个人中选择游玩乌镇的人数，求
的分布列和数学期望

24．已知
（
），

（1）当
时，求
的值；

（2）设
，试用数学归纳法证明：

当
时，
。

25．已知函数
．

（1）若
在
上的最大值为
，求实数
的值；

（2）若对任意
，都有
恒成立，求实数
的取值范围；

（3）在(1)的条件下，设
，对任意给定的正实数
，曲线
上是否存在两点
，使得
是以
（
为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在
轴上？请说明理由．

台州中学2012学年第二学期第二次统练答题卷

高二 数学（理科）

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14



答案































二、填空题：

15.___________ 16.___________ 17.__________ 18.__________

19.___________ 20.___________

三、解答题：

21.（6分）

22.（8分）

23.（8分）

24.（8分）

25.（10分）

2012学年第二学期第二次统练参考答案

高二 数学（理）

1~14题（14*3=42）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14



C

A

B

C

D

A

D

B

A

B

B

D

D

C



14解析：用1表示男孩，用-1表示女孩，则每一次活动都是用相邻两个数的乘积进行替换；考虑圆周上的四个数的所有情况，最多六种：（旋转后重合的视为同一种情况）①-1，-1，-1，-1 ②-1，-1，-1，1 ③-1，-1，1，1④-1，1，-1，1 ⑤-1，1，1，1 ⑥1，1，1，1注意这六种之间的变化：（②、⑤都变成③）②，⑤→③→④→①→⑥， 分析可得，最多4次； 故答案为4，

15~20题(6*3=18)

15、
16、
17、
18、343

19、
20、1、2、5

21~25题（6+8+8+8+10）

21、解　(1)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a. ∵f(x)在x＝3处取得极值，

∴f′(3)＝6×9－6(a＋1)×3＋6a＝0，解得a＝3. ∴f(x)＝2x3－12x2＋18x＋8.

(2)A点在f(x)上， 由(1)可知f′(x)＝6x2－24x＋18，

f′(1)＝6－24＋18＝0， ∴切线方程为y＝16.

22、

23.解：（Ⅰ）设“从甲寝室选出的2人选横店”为事件A，“从乙寝室选出的2人选横店”为事件B.

由于事 件A、B相互独立， 且
,???
.

所以选出的4人均选择横店的概率为
?

（Ⅱ）设
可能的取值为0,1,2,3.得

,
,

?

的分布列为

0

1

2

3



P











∴
的数学期望
???

24. 解：（1）记
，

则

（2）设
，则原展开式变为：
，

则
所以

当
时，
，结论成立

假设
时成立，即

那么
时，

，结论成立。

所以当
时，
。

25、解：（Ⅰ）由
，得
，

令
，得
或
．

当
变化时，
及
的变化如下表：



















-



+



-







↘

极小值

↗

极大值

↘



由
，
，
，

即最大值为
，
．

（Ⅱ）由
，得
．

，且等号不能同时取，
，即

恒成立，即
．

令
，求导得，
，

当
时，
，从而
，

在
上为增函数，