玉田县2012-2013学年度高二第二学期期中考试

理科数学参考答案

18.【考点定位】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的最值及其几何意义,两条直线平行的判定等基础知识,考查运算求解能力.

解:(1)因
,故
…………2分

由于曲线
在点
处的切线垂直于轴,故该切线斜率为0,即
, ………………4分

从而
,解得
……6分

(2)由(1)知
,

……………8分

令
,解得
(因
不在定义域内,舍去),

当
时,
,故
在
上为减函数;

当
时,
,故
在
上为增函数;

故
在
处取得极小值
. ………12分

20.本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想，满分12分。

解：（I）因为x=5时，y=11，所以
…………4分

（II）由（I）可知，该商品每日的销售量

所以商场每日销售该商品所获得的利润

…………6分

从而，

于是，当x变化时，
的变化情况如下表：

（3，4）

4

（4，6）





+

0

-





单调递增

极大值42

单调递减



由上表可得，x=4是函数
在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点；

所以，当x=4时，函数
取得最大值，且最大值等于42。…………11分

答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大。

…………12分

21.（12分）解：（1）容易求得：
，----------------------（1分）

故可以猜想
， 下面利用数学归纳法加以证明：

显然当
时，结论成立，-----------------（2分）

假设当；时（也可以），结论也成立，即

， --------------------------（3分）

那么当时，由题设与归纳假设可知：

-----------（5分）

即当时，结论也成立，综上，对,成立。----（6分）

（2）

（8分）

所以

------（10分）zxxk

所以只需要证明

（显然成立）

所以对任意的自然数，都有-------（12分）

(Ⅱ) ①当

时, 即 当
时,
在
上是减函数,在
上是增函数,则函数
在区间[-2,0]上的最小值为
…………9分

②当

时, 即 当
时,
在
上是增函数,

则函数
在区间[-2,0]上的最小值为

综上: 当
时,
在区间[-2,0]上最小值为

当
时,
在区间[-2,0]上最小值为
…………12分