（测试时间：120分钟 卷面总分：150分）

一、选择题（每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）

1．已知命题
，若命题“
”与命题“
”都是真命题，则（ ）

A．为真命题，为假命题 B．为假命题，为真命题

C．，均为真命题 D．，均为假命题

2. 设
（是虚数单位），则
（ ）A．
B．
C．
D．
3. 下列函数中，与函数y＝
定义域相同的函数为（ ）

A．y＝
　　 B．y＝
C．y＝xex D．y＝

4. 设f(x)＝
， g(x)＝
则f(g())的值为（ ）

A．1 B．0 C．－1 D．

5．集合M＝{x|lgx>0}，N＝{x|x2≤4}，则M∩N＝(　 　)

A．(1,2) B．[1,2) C．(1,2] D．[1,2]

6．已知P:
,那么P的一个必要不充分条件是（ ）

A.
B.
C.
D.

7．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f(－)＝(　 )

A．－ B．－ C.  D. 

8．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为(　　 )

A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)

9. 设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20min，在乙地休息10min后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30min，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图像为（ ）

10．正方体
中，
为侧面
所在平面上的一个动点，且
到平面
的距离是
到直线
距离相等，则动点
的轨迹为( )

A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆

二、填空题（本题5小题，每小题5分，共25分）

11．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是____________．

12．若曲线
的一条切线
与直线
垂直，则
的方程为 。

13．若直线
与抛物线
交于、两点，则线段
的中点坐标是

。

14．定义在R上的偶函数f(x)在[0，+∞）上是增函数，且
，则不等式
的解集是

15．有下列4个命题：

①函数
在一点的导数值为
是函数
在这点取极值的充要条件；

②若椭圆
的离心率为
，则它的长半轴长为1；

③对于上可导的任意函数
，若满足
，则必有

④经过点（1,1）的直线，必与椭圆
有2个不同的交点。

其中真命题的为 （将你认为是真命题的序号都填上）

三、解答题（本题5小题，共75分,解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。）

16．（12分）双曲线的离心率等于2，且与椭圆
有相同的焦点，求此双曲线方程．

17．(12分)已知集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|x2－3x≤10}．

(1)若a＝3，求(CRP)∩Q；

(2)若PQ，求实数a的取值范围．

18．(12分) 已知命题P：存在
， 命题Q：任意
恒成立。若P且Q为假命题，求实数m的取值范围？　

20. (13分)已知二次函数f(x)有两个零点0和－2，且f(x)最小值是－1，函数g(x)与f(x)的图像关于原点对称．

（1）求f(x)和g(x)的解析式；

（2）若h(x)＝f(x)－λg(x)在区间[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围．

21．（14分）已知函数f(x)＝x－ln(x＋a)的最小值为0，其中a>0.

（1）求a的值；

（2）若对任意的x∈[0，＋∞)，有f(x)≤kx2成立，求实数k的最小值．

高二年级期中考试数学答案（文）

三、解答题（本题5小题，共75分,解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。）

16. (12分)双曲线的离心率等于2，且与椭圆
有相同的焦点，求此双曲线方程．

解：∵ 椭圆
的焦点坐标为（－4，0）和（4，0），

则可设双曲线方程为
（a＞0，b＞0），

∵ c＝4，又双曲线的离心率等于2，即
，∴ a＝2．

∴
＝12．故所求双曲线方程为
．

17．(12分)已知集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|x2－3x≤10}．

(1)若a＝3，求(?RP)∩Q；

(2)若P?Q，求实数a的取值范围．

[解析]　(1)因为a＝3，所以P＝{x|4≤x≤7}，

?RP＝{x|x<4或x>7}．

又Q＝{x|x2－3x－10≤0}＝{x|－2≤x≤5}，

所以(?RP)∩Q＝{x|x<4或x>7}∩{x|－2≤x≤5}

＝{x|－2≤x<4}．

(2)若P≠?，由P?Q，

得解得0≤a≤2；

当P＝?，即2a＋1

综上，实数a的取值范围是(－∞，2]．

18．(12分)已知命题P：存在
， 命题Q：任意
恒成立。若P且Q为假命题，求实数m的取值范围？　

19. (12分)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x＋x2.

(1)求x>0时，f(x)的解析式；

(2)若关于x的方程f(x)＝2a2＋a有三个不同的解，求a的取值范围．

[解析]　(1)任取x>0，则－x<0，

∴f(－x)＝－2x＋(－x)2＝x2－2x.

∵f(x)是奇函数，

∴f(x)＝－f(－x)＝2x－x2.

故x>0时，f(x)＝2x－x2.

(2)∵方程f(x)＝2a2＋a有三个不同的解，

∴－1<2a2＋a<1.∴－1

20. (13分)已知二次函数f(x)有两个零点0和－2，且f(x)最小值是－1，函数g(x)与f(x)的图像关于原点对称．

(1)求f(x)和g(x)的解析式；

(2)若h(x)＝f(x)－λg(x)在区间[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围．

[解析]　(1)依题意，设f(x)＝ax(x＋2)＝ax2＋2ax(a>0)．

f(x)图像的对称轴是x＝－1，∴f(－1)＝－1，

即a－2a＝－1，∴a＝1，∴f(x)＝x2＋2x.

∵函数g(x)的图像与f(x)的图像关于原点对称，

∴g(x)＝－f(－x)＝－x2＋2x.

(2)由(1)得h(x)＝x2＋2x－λ(－x2＋2x)＝(λ＋1)x2＋2(1－λ)x.

①当λ＝－1时，h(x)＝4x满足在区间[－1,1]上是增函数；

②当λ<－1时，h(x)图像对称轴是x＝，

则≥1，又λ<－1，解得λ<－1；

③当λ>－1时，同理需≤－1，

又λ>－1，解得－1<λ≤0.

综上，满足条件的实数λ的取值范围是(－∞，0]．

－1.

①当k≥时，≤0，g′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，因此g(x)在[0，＋∞)上单调递减．从而对于任意的x∈[0，＋∞)，总有g(x)≤g(0)＝0，即f(x)≤kx2在[0，＋∞)上恒成立．

故k≥符合题意．

②当00，对于x∈(0，)，g′(x)>0，故g(x)在(0，)内单调递增．因此当取x0∈(0，)时，g(x0)>g(0)＝0，即f(x0)≤kx不成立．

故0

综上，k的最小值为.