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　　2011--2012学年第二学期期中数学试卷（理）.doc

　　高二数学（理）答题卡.doc

江苏省南菁高级中学

2012－2013学年第二学期期中考试高二数学试卷（理）2013. 4

一、填空题：（本大题共17小题，每小题5分，共计85分，请将答案写在答卷上）

1．甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，则甲不站在排头的排法有 ▲ 种．（用数字作答）

2．曲线
在点
处的切线方程为 ▲ ．

3．已知
，则
▲ ．

4．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生一次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率
的取值范围是 ▲ ．

5．已知某50件商品中有15件一等品，其余为二等品，现从中随机选购2件，若
表示所购2件中的一等品的件数，则
▲ ．（用分数作答）

6．旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条，则3个旅游团选择3条不同线路的概率为 ▲ ．

7．
的展开式中的常数项为 ▲ .

8．已知抛物线
的焦点为
，准线为
，过点
作倾斜角为60°的直线与抛物线在第一象限的交点为
，过点
作
的垂线，垂足为
，则△
的面积是 ▲ ．

9．已知
，
为双曲线
的左、右焦点，点
在双曲线
上，∠
，则
▲ .

10．观察下列不等式：
，
，
，
，

，……，由此猜想第

个不等式为 ▲ .

11．设直线
与函数
，
的图象分别交于点
，
，则当
达到最小时
的值为 ▲ .

12．将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放在同一信封中，则不同的方法共有 ▲ 种．

13．已知函数
在定义域内是增函数，则实数
的取值范围是 ▲ ．

14．对于问题“已知关于
的不等式
的解集为
，解关于
的不等式
”，现给出如下一种解法：

解：由
的解集为
，得
的解集为
，即关于
的不等式
的解集为
，

参考上述解法，若关于
的不等式
的解集为
，

则关于
的不等式
的解集为 ▲ ．

15．化简：
▲ ．

16．设
表示不超过
的最大整数（如
，
），对于给定的
，定义
，
；当
时，函数
的值域是 ▲ .

17．设数列
满足：
，

，则
的值小于4的概率为

▲ ．

二、解答题：（本大题共5小题，共计75分，请将答案写在答卷上）

18．（本题满分14分）已知
的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992，

求：（1）展开式中二项式系数最大的项；

（2）展开式中系数最大的项．

19．（本题满分14分）已知函数
，

（1）判断函数
的奇偶性；

（2）求函数
的单调区间；

（3）若关于
的方程
有实数解，求实数
的取值范围．

20．（本题满分15分） 如图，已知椭圆
的长轴为
，

点
恰好是椭圆的一个顶点,且椭圆的离心率
，

过点
的直线
与
轴垂直．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设
是椭圆上异于
、
的任意一点，
轴，
为垂足，

延长
到点
使得
，连结
延长交直线
于点
，
为
的中点．

①求点
的轨迹；

②判断直线
与以
为直径的圆
的位置关系．

21．（本题满分16分）题目见答题卡上

22．（本题满分16分）题目见答题卡上

21．（本题满分16分）一个袋中装有黑球，白球和红球共

个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是
．现从袋中任意摸出2个球．

（1）若
，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是
，设
表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量
的概率分布；

（2）当
取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少？

22．（本题满分16分）已知多项式
，

（1）求
及
的值；

（2）已知
为整数，试给出使得
为整数的
的所有取值的集合，并证明你的结论．

江苏省南菁高级中学

2012－2013学年第二学期期中考试高二数学答案（理）2013. 4

一、填空题：

1．96 2．
3．
即
4．
5．
6．
7．3

8．
9． 4 10．
11．
12．18 13．
14．
15．
16．
17．

二、解答题：

18．（14分）解：令
=1，则展开式中各项系数和为
，又展开式中二项式系数和为

所以
，……………………………………… 2分

∴
∴
∴
……………………………………… 4分

（1）
，∴展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、第四两项，

，……………………………………… 6分

……………………………………… 8分

（2）设展开式中第
项系数最大，则

∴
，…………………… 10分

∴
……………………………………… 12分

∴
，即展开式中第5项系数最大，
………………14分

19. （14分）解：（1）函数
的定义域为
且
.--------------- 1分

为偶函数.--------------- 3分

（2）当
时，
--------------- 4分

令

令

所以可知：当
时，
单调递减，当
时，
单调递增，---------- 6分

又因为
是偶函数，所以在对称区间上单调性相反，所以可得：

当
时，
单调递增，当
时，
单调递减，

综上可得：
的递增区间是:
,
；

的递减区间是:
,
--------------------------- 8分

（3）由
，即
,显然,

可得：
--------------------- 9分

令
，当
时,

----------- 10分

显然
，当
时，
,
单调递减，当
时，
,
单调递增，

时,
----------- 12分

又
，所以可得
为奇函数，所以
图像关于坐标原点对称

所以可得:当
时，
----------- 13分

∴
的值域为
∴
的取值范围是
.----------- 14分

20．（15分）解：（1）
． 由离心率
得
．

所以椭圆的标准方程为
． ………………………………………4分

（2）设
，
．

∵
，∴
．∴

∵
∴
，即
………………………………………8分

∴
点在以
为圆心，2为半径的的圆上．即
点在以
为直径的圆
上．……………………9分

又
，∴直线
的方程为
．

令
，得
．又
，
为
的中点，∴
．………………………11分

∴
，
．

∴

．

∴
．∴直线
与圆
相切． …………………………………15分

21．（16分）解：（1）设袋中黑球的个数为
，记“从袋中任意摸出1个球，得到黑球”为事件
，

则
，∴
……………………………………… 2分

设袋中白球的个数为
，记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件
，

则
，∴
………………………………………4分

则袋中红球的个数为4个

随机变量
的取值为0，1，2，

，
，

∴随机变量
的概率分布为

0

1

2













………………………………………10分

（2）袋中黑球的个数为

记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球”为事件
，

考资源网(www.ks5u.com)
………………………………………14分

∴当
时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为
…………16分

22（16分）解：（1）
………………………… 1分；
………………………… 2分

（2）使得
为整数的
的所有取值的集合为
，……………………………………… 3分

即对一切整数
，
一定是整数，证明如下：

Ⅰ）用数学归纳法证明：对一切正整数
，
是整数，

①当
时，
，结论成立；……………………………………… 4分

②假设当
时，结论成立，即
是整数；……… 5分

则当
时，

∵
， ∴
为整数，

又∵
为整数，∴
为整数，即当
时，结论成立

由①②可知，对一切正整数
，
一定是整数……………………………………… 10分

Ⅱ）当
时，
是整数；……………………………………… 12分

Ⅲ）当