江苏省扬州中学2012—2013学年度第二学期期中考试

高二数学（文）试卷 2013.4

注：本试卷考试时间120分钟，总分值160分

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1． 已知是虚数单位，则(1-i)i=

2． 命题“
”的否定是________________

3． 已知集合
，
，
，则
=

4． 设
的 条件．（填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”．）

5． 在复平面内，复数
对应的点到直线
的距离是

6．焦点在x轴上的椭圆方程为
，离心率为
，则实数的值为

7．一列具有某种特殊规律的数为：
则其中x=

8．曲线
在点（1,2）处的切线方程为

9．设f (x)＝，则f [ f ()]＝

10．若函数
为偶函数，则实数a=

11．半径为的圆的面积
，周长
，若将看作
上的变量，则
，① ①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。

对于半径为的球，若将看作
上的变量，请你写出类似于①的式子:

(注：球体积公式为
为球体半径)

12． 已知抛物线
焦点恰好是双曲线
的右焦点，且双曲线过点（
），则该双曲线的渐近线方程为

13．已知函数f(x)=
在(－2,+ )
内单调递减，则实数a的取值范围

14． 已知a>0，bR，函数
．若﹣1≤
≤1对任意x [0,1]恒成立，则a+b的取值范围是

二、解答题:本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15．（本题满分14分）

记关于的不等式
的解集为，不等式
的解集为
．

（1）若
，求；

（2）若a=-1，求

16．（本题满分14分）

记
中最小的一个，

(1)求
的值；

(2)求证： 设
．

17． （本题满分14分）

设
不等式
的解集是（－3，2）．

（1）求
；

（2）当函数f（x）的定义域是[0，1]时，求函数
的值域．

18．（本题满分16分）

经销商用一辆J型卡车将某种水果运送（满载）到相距400km的水果批发市场。据测

算，J型卡车满载行驶时，每100km所消耗的燃油量u（单位：L）与速度v（单位：km/h）

的关系近似地满足
，除燃油费外，人工工资、车损等

其他费用平均每小时300元。已知燃油价格为7.5元/L。

（1）设运送这车水果的费用为y（元）（不计返程费用），将y表示成速度v的函数关系式；

（2）卡车该以怎样的速度行驶，才能使运送这车水果的费用最少？

19．（本题满分16分）

已知椭圆E：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，其长轴长与短轴长的和等于6．

（1）求椭圆E的方程；

（2）如图，设椭圆E的上、下顶点分别为A1、A2，P是椭圆上异于A1、A2的任意一点，直线PA1、PA2分别交x轴于点N、M，若直线OT与过点M、N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值．

20． （本题满分16分）

设
、
．

（1）若
在
上不单调，求
的取值范围；

（2）若
对一切
恒成立，求证：
；

（3）若对一切
，有
，且
的最大值为1，

求
、满足的条件．

答案：文

1.1+i 2.
3.{3,5} 4.充分不必要

5.
6.
7.2 8.x-y+1=0

9.
10.0 11.
12.

13.
14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.（1）由题意
，
；

（2）须
与
同时成立，即
，
；

（3）因为
，依题意，对一切满足
的实数，有
．

①当
有实根时，
的实根在区间
内，设
，所以
，即
，又
，于是，
的最大值为
，即
，从而
．故
，即
，解得
．

②当
无实根时，
，由二次函数性质知，
在
上的最大值只能在区间的端点处取得，所以，当
时，
无最大值．于是，
存在最大值的充要条件是
，即
，所以，
．又
的最大值为
，即
，从而
．由
，得
，即
．所以
、满足的条件为
且
．综上：
且

答案：理

1.1+i 2.
3.3 4.充分不必要

5.
6.
7.2 8.x-y+1=0

9.
10.
11.
12.

13.
14.

15.

16.略

17.

18. （1）
；（2）

19.（1）设
，则
．当
时，直线
过点
，
，即
，
．当
时，直线
过点
，直线
的斜率
，直线OS的斜率
，其方程为
，
，即
．

．故“如果直线
过点
，那么
”为真命题．

（2）逆命题为：如果
，那么直线
过点
．逆命题也为真命题，以下给出证明：设
，则
，
，
，又
，
．当
时，直线
的方程为
，显然过点
；当
时，直线OS的斜率
，直线
的方程为
，令
，得
，直线
过定点
．综上，直线
恒过定点
．

20.[解]（1）选取
，Y中与
垂直的元素必有形式
.

所以x=2b，从而x=4.

（2）证明：取
.设
满足
.

由
得
，所以、异号.

因为-1是X中唯一的负数，所以、中之一为-1，另一为1，

故1(X.

假设
，其中
，则
.

选取
，并设
满足
，即
，

则、异号，从而、之中恰有一个为-1.

若=-1，则2，矛盾；

若=-1，则
，矛盾.

所以x1=1.

（3）[解法一]猜测
，i=1, 2, …, n.

记
，k=2, 3, …, n.

先证明：若
具有性质P，则
也具有性质P.

任取
，、(
.当、中出现-1时，显然有
满足
；

当
且
时，、≥1.

因为
具有性质P，所以有
，
、
(
，使得
，

从而
和
中有一个是-1，不妨设
=-1.

假设
(
且
(
，则
.由
，得
，与

(
矛盾.所以
(
.从而
也具有性质P.

现用数学归纳法证明：
，i=1, 2, …, n.

当n=2时，结论显然成立；

假设n=k时，
有性质P，则
，i=1, 2, …, k；

当n=k+1时，若
有性质P，则

也有性质P，所以
.

取
，并设
满足
，即
.由此可得s与t中有且只有一个为-1.

若
，则1，不可能；

所以
，
，又
，所以
.

综上所述，

，i=1, 2, …, n.

[解法二]设
，
，则
等价于
.

记
，则数集X具有性质P当且仅当数集B关于

原点对称.

注意到-1是X中的唯一负数，
共有n-1个数，

所以
也只有n-1个数.

由于
，已有n-1个数，对以下三角数阵

，
……

注意到
，所以
，从而数列的通项公式为

，k=1, 2, …, n.