湖北省黄冈市黄冈中学2014届高二下学期期中考试试题

数学（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．曲线
在点
处的切线倾斜角为（ ）

A．
B．
C．
D．

答案：A．
,在点
处的切线斜率为
，故倾斜角为
．

2．已知x1>0，x1≠1且xn＋1＝(n＝1,2，…)，试证：“数列{xn}对任意的正整数n，都满足xn>xn＋1，”当此题用反证法否定结论时应为(　　)

A．对任意的正整数n，有xn＝xn＋1 B．存在正整数n，使xn≤xn＋1

C．存在正整数n，使xn≥xn－1，且xn≥xn＋1 D．存在正整数n，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0

2. B 解析：根据全称命题的否定，是特称命题，即“数列{xn}对任意的正整数n，都满足xn>xn＋1”的否定为“存在正整数n，使xn≤xn＋1”，故选B.

3．下列四个命题：①若x2-3x+2=0,则x=1或x=2 ②若-2≤x<3,则（x+2）(x-3)≤0 ③若x=y=0,则x2+y2=0 ④若x、y∈N*,x+y是奇数，则x、y中一个是奇数，一个是偶数.那么（ ）

A.①的逆命题真 B.②的否命题真

C.③的逆否命题假 D.④的逆命题假

3．A 【解析】①的逆命题为：若x=1或x=2，则x2-3x+2=0,显然为真；②的否命题为假，因x=3时，（x+2）(x-3)=0;③为真命题，其逆否命题亦真；④的逆命题为真.

4．下面几种推理过程是演绎推理的是(　　)

A．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A，∠B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°

B．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人

C．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质

D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(an－1＋)(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式

【答案】A 　

【解析】两条直线平行，同旁内角互补………………………………………………大前提

∠A，∠B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角……………………小前提

∠A＋∠B＝180°………………………………………………………………………结论

故A是演绎推理，而B、D是归纳推理，C是类比推理．

5．设
则
=（ ）

A.
B.
C.
D.不存在

5. 【答案】C 解析：

6．如图所示，空间四边形
中，
，
，
，

点M在OA上，且
，N为BC中点，则
等于（ B ）

A．
B．

C．
D．

提示：由题意知
，

∴
.

7．方程
在
内根的个数有（ ）

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

答案：B.令
，则
，故
在
上为减函数，又
，
，故
在
内有1个根.

8．如图为函数
的图象，
为函数
的导函数，则不等式
的解集为（ ）

A．
B．

C．
D．

【解析】当

时，
，则
，故
是解集的一部分；同理
也是解集的一部分.故选D.

9、椭圆
和圆
（其中c为椭圆半焦距)有四个不同的交点，则椭圆离心率的范围是： ( A )

9、A 要有四个交点只须bb，∴a2=c2+b2<5c2，

∵b2<4(a-c)2 ∴a2-c2<4(a-c)2，∴a+c<4(a-c),∴5c<3a，∴e<3/5。

10．定义方程
的实数根x0叫做函数
的“新驻点”，

如果函数
，
，
（
）

的“新驻点”分别为
，
，
，那么
，
，
的大小关系是( D )

A．
B．
C．
D．

【答案】D

【解析】：∵
，令
，∴
，∵
，令
，结合图象可知，
；∵
，令
，∴
，∴
.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上．

11．椭圆
的一个焦点是
，那么
的值为 ．

解析：
∵椭圆的方程可化为
，且焦点为
，∴
，

由
得
．

12．观察下列式子：
，
，……，根据以上式子可以猜想：

答案：
．上述式子推广：
（
且
）．

13.设
，
，若
是
的充分不必要条件，则实数
的

取值范围是 .

【答案】：

【提示】：
，
，由
是
的充分不必要条件得

，故有
，即
.

14．函数
在
时有极值
,那么
的值为________

答案：
.
，
解得
.

15.对于三次函数
，定义：设
是函数
的导数
的导数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心”，且‘拐点’就是对称中心.请你将这一发现作为条件.

(1).函数
的对称中心为___(1,1)_____.

(2).若函数
__2012______.

15．（1）依题意由
得
．

∴
，令
得
，∴
，∴对称中心为
．

（2）令
，
．则
．

又
，
．令
得
．故函数
的对称中心为
．易知
的对称中心为
．

设
在
上可知
关于对称点
的对称点
也在函数
上，

∴
．∴
．

同理可得
．

∵
．

．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分10分）

设
是二次函数，方程
有两个相等的实根，且
．

（1）求
的表达式．

（2）求
的图象与坐标轴所围成的图形的面积．

16、解：（1）设
，由题意得：
……3分

解得
,所以
…………………………6分

（2）由题意得
， …………………………12分

17. 已知：如图，在四棱锥
中，四边形
为正方形，
，且
，
为
中点．

（Ⅰ）证明：
//平面
；

（Ⅱ）证明：平面
平面
；

（Ⅲ）求二面角
的正弦值．

【答案】解： （Ⅰ）

证明：连结BD交AC于点O，连结EO．
O为BD中点，E为PD中点，

∴EO//PB．
EO
平面AEC，PB
平面AEC， ∴ PB//平面AEC．…………4分

（Ⅱ证明： PA⊥平面ABCD．

平面ABCD，

∴
．

又
在正方形ABCD中
且
，

∴CD
平面PAD．又

平面PCD，

∴平面
平面
． …………8分

（Ⅲ）如图，以A为坐标原点，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴建立空

间直角坐标系．

由PA=AB=2可知A、B、C、D、P、E的坐标分别为

A（0, 0, 0）, B（2, 0, 0）,C（2, 2, 0）,

D（0, 2, 0）, P（0, 0, 2）, E（0, 1, 1） ． ……………9分

PA
平面ABCD，∴
是平面ABCD的法向量，
=（0, 0, 2）．

设平面AEC的法向量为
,
,

则
即

∴

∴ 令
,则
．

∴
, 二面角
的正弦值为
…………………12分

18、在
这
个自然数中，任取
个数．

（I）求这
个数中恰有
个是偶数的概率；

（II）设
为这
个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为
，则有两组相邻的数
和
，此时
的值是
）．求随机变量
的分布列及其数学期望
．

解（I）记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A，则
；……6分

（II）随机变量
的取值为
的分布列为

0

1

2



P









所以
的数学期望为
…………12分

19．（本小题12分）如图，在四棱锥
中，
平面
，四边形
是菱形，
，
，E是PB上任意一点 .

（I）求证： AC⊥DE；

（II）已知二面角
的余弦值为
，若
为
的中点，求
与平面
所成角的正弦值 .

19. (1)证明：∵
平面
，
平面

∴

又∵
是菱形 ∴

∴
平面
∵
平面

∴
…………6分

（2）分别以
方向为
轴建立空间直角坐标系，设
，则

由（1）知：平面
的法向量为
，令平面PAB的法向量为
，

则根据
得
∴

因为二面角A-PB-D的余弦值为
，则
，即

………………9分

∴

设EC与平面PAB所成的角为
，∵
，
则

………………12分

20. 已知抛物线
的顶点是椭圆
的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合.

(1)求抛物线
的方程;

(2)已知动直线
过点
,交抛物线
于
、
两点.

若直线
的斜率为1,求
的长;

是否存在垂直于
轴的直线
被以
为直径的圆
所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出
的方程；如果不存在，说明理由.

21. 解：解:(1)由题意,可设抛物线方程为
.

由
,得
.

抛物线的焦点为
,