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| 简介:
湖北武汉部分重点中学 2012—2013学年度下学期期中考试 高二数学理试题 命题人：武汉四中 孙晓兰 审题人：王玉珍 考试时间:2013年4月18日下午2:00—4:00 本卷满分150分 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列语句中，是命题的个数是①|x+2| ②－5∈Z ③πR ④{0}∈N A.1 B.2 C.3 D.4 2．武汉炼油厂某分厂将原油精练为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x小时时，原油温度（单位：为，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是 A．8 B. C． D. 3． 已知为椭圆（）的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若的周长为16，椭圆的离心率，则椭圆的方程为 A． B． C． D． 4．若函数f(x)和g(x)的定义域、值域都是R，则不等式f(x)> g(x)有解的充要条件是 A ( x∈R, f(x)>g(x) B 有无穷多个x (x∈R )，使得f(x)>g(x) C ( x∈R,f(x)>g(x) D { x∈R| f(x)≤g(x)}=( 5．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点、是它的焦点，长轴长为，焦距为，静放在点的小球（小球的半径不计），从点沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是 A． B． C． D．以上答案均有可能 6．设,函数的导函数是,且是奇函数.若曲线的一条切线的斜率是,则切点的横坐标为 A. B. C. D. 7．已知圆柱的底面半径为2，高为3，用一个平面去截，若所截得的截面为椭圆，则椭圆的离心率的取值范围为 A． B．（0， C． D．（0， 8．函数y＝－2sin x的图象大致是
9．如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面为正方形，侧面PAD与底面ABCD垂直，M为底面内的一个动点，且满足MP=MC，则动点M的轨迹为 A．椭圆 B．抛物线 C．双曲线 D．直线 10．已知，在处取得最大值，以下各式中正确的序号为 ① ② ③ ④ ⑤ A． ①④ B. ②④ C. ②⑤ D. ③⑤ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11.设是两个命题，，则是的 ▲ 条件。 （填“充分而不必要”、“ 必要而不充分”、“ 充分必要 ”、“ 既不充分也不必要”中的一个） 12．如右图，抛物线C：(p>0)的焦点为F，A为C上的点，以F为圆心，为半径的圆与线段AF的交点为B， ∠AFx=60°,A在y轴上的射影为N，则∠= ▲ ． 13.椭圆(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为 ▲ ． 14．对正整数,设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为,则数列的前项和的公式是 ▲ 。 15．给出下列四个命题： ①函数f（x）＝lnx－2＋x在区间（1 , e）上存在零点； ②若m≥－1，则函数的值域为R； ③若，则函数y＝f（x）在x＝x0处取得极值； ④“a =1”是“函数在定义域上是奇函数”的充分不必要条件。 其中正确的是 ▲ 。 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答请写在答卷纸上，应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.（本题12分）已知a >0且 命题P：函数内单调递减； 命题Q：曲线轴交于不同的两点. 如果“P\/Q”为真且“P/\Q”为假，求a的取值范围. 17. (本题满分12分) 已知实数a满足1＜a≤2，设函数f (x)＝x3－x2＋a x． (Ⅰ) 当a＝2时，求f (x)的极小值； (Ⅱ) 若函数g(x)＝4x3＋3bx2－6(b＋2)x (b∈R) 的极小值点与f (x)的极小值点相同， 求证：g(x)的极大值小于或等于10． 18. （本题12分）已知椭圆的对称轴为坐标轴,焦点是（0，），（0，），又点在椭圆上. (1)求椭圆的方程; (2)已知直线的斜率为,若直线与椭圆交于、两点,求面积的最大值. 19.（本题12分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中3 （I）求a的值 （II）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。 20.（本题13分）如图,一水渠的横断面是抛物线形，O是抛物线的顶点,口宽EF=4米，高3米 建立适当的平面直角坐标系，求抛物线方程. 现将水渠横断面改造成等腰梯形ABCD，要求高度不变，只挖土，不填土，求梯形ABCD的下底AB多大时，所挖的土最少？ 21．（本题14分） 已知函数 （Ⅰ）若，试确定函数的单调区间； （Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围； （Ⅲ）设函数，求证：． 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C A D A B C D B 11、充分而不必要 12、 13、 14、 15、 ①②④ 16、解： 且 命题P为真时 命题P为假时 命题Q为真时 且 即 或 命题Q为假时 且 由“”为真且“”为假，知P、Q有且只有一个正确。 （1）：P正确，且Q不正确 即 （2）：P不正确，且Q正确 即 综上， 的取值范围是 ………………12分 17.(Ⅰ)解：当a＝2时，f ′(x)＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)． 列表如下： x (－，1) 1 (1，2) 2 (2，＋) f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f (x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，f (x)的极小值为f (2)＝． …………………………6分 (Ⅱ) 解：f ′ (x)＝x2－(a＋1)x＋a＝(x－1)(x－a)． 由于a＞1，所以f (x)的极小值点x＝a，则g(x)的极小值点也为x＝a． 而g ′ (x)＝12x2＋6bx－6(b＋2)＝6(x－1)(2x＋b＋2)，所以， 即b＝－2(a＋1)． 又因为1＜a≤2，所以 g(x)极大值＝g(1)＝4＋3b－6(b＋2)＝－3b－8＝6a－2≤10． 故g(x)的极大值小于或等于10． …………………………12分 18、解: (Ⅰ)由已知抛物线的焦点为,故设椭圆方程为. 将点代入方程得,整理得, 解得或(舍).故所求椭圆方程为. ….. ……5分 (Ⅱ)设直线的方程为,设 代入椭圆方程并化简得, 由,可得 ①. 由, 故. 又点到的距离为, ………………….. 8分 故, 当且仅当,即时取等号(满足①式) 所以面积的最大值为. ……………………………12分 19、解：（I）因为x=5时，y=11，所以 、、、、、、、、、、、、、、、、、4分 （II）由（I）可知，该商品每日的销售量 所以商场每日销售该商品所获得的利润 从而， 于是，当x变化时，的变化情况如下表： （3，4） 4 （4，6） + 0 - 单调递增 极大值42 单调递减 由上表可得，x=4是函数在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点； 所以，当x=4时，函数取得最大值，且最大值等于42。 答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大。 ……..12分 20、（1）解：如图 以O为原点，AB所在的直线 为X轴，建立平面直角坐标系， 则F（2，3），设抛物线的方程是 因为点F在抛物线上，所以 所以抛物线的方程是 ……………………6分 (2) 解：等腰梯形ABCD中,AB∥CD，线段AB的中点O是抛物线的顶点，AD，AB，BC分别与抛物线切于点M，O，N ，设，，则抛物线在N处的切线方程是 ，所以， ……………………9分 梯形ABCD的面积是 答：梯形ABCD的下底AB=米时，所挖的土最少. …………………13分 21、 解：（Ⅰ）由得，所以． 由得，故的单调递增区间是， 由得，故的单调递减区间是． ….……..…..4分 （Ⅱ）由可知是偶函数． 于是对任意成立等价于对任意成立． 由得． ①当时，． 此时在上单调递增． 故，符合题意． ②当时，． 当变化时的变化情况如下表： 单调递减 极小值 单调递增 由此可得，在上，． 依题意，，又． ……............8分 综合①，②得，实数的取值范围是． （Ⅲ）， ， ， 由此得， 故． .............14分 | ||||||||||||||||||||||||||||||
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