江苏省扬州师大附中2012-2013学年高二第二学期



高二数学（理科）期中试卷

2012.5.2





责任命题、审核：







本试卷共计：

160分





考试时间：

120分钟





（试卷一）

一、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）

1．设全集
，

，
，则
= ▲ ．

2．已知复数
满足
，其中为虚数单位，则
▲ ．

3．若
， 则
的定义域是 ▲ ．

4．函数
的值域为 ▲ ．

5．观察下列等式： ×＝1－， ×＋×＝1－， ×＋×＋×＝1－，…，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*，

×＋×＋…＋
×＝ ▲ ．

6．下列四个命题中，正确命题的个数是 ▲ 个.

①
；②
；

③
，使
； ④
，使
为29的约数.

7．方程
有 ▲ 个不同的实数根．

8．已知命题
是假命题，则实数a的取值范围是 ▲ ．

9．已知函数
，当
时，
，则实数的取值范围是

▲ .

10．已知函数
，若
，且
，则
的取值范围是 ▲ ．

二、解答题：（本大题共2道题，计30分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

11．（本小题满分15分）

设命题p：函数
在
上是增函数，命题q：函数
的定义域为R．

（1）若
，试判断命题p的真假；

（2）若命题p与命题q一真一假，试求实数
的取值范围．

12．（本小题满分15分）

已知函数
，其中
．

（1）若对任意的
，都有
，试求实数
的取值范围；

（2）求函数
的定义域．

（试卷二）

1．（本小题满分10分）

从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？

2．（本小题满分10分）

如图，在正方体
中，
与
相交于点O，求证：
．

3．（本小题满分15分）

已知数列
满足
且

（1）计算
的值，由此猜想数列
的通项公式；

（2）用数学归纳法对你的结论进行证明．

4．（本小题满分15分）

袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为
．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用X表示取球终止时取球的总次数．

（1）求袋中原有白球的个数；

（2）求随机变量X的概率分布及数学期望
．

5．（本小题满分15分）

三棱柱
在如图所示的空间直角坐标系中，已知
，
，
．
是
的中点．

（1）求直线
与
所成角的余弦值；

（2）求直线
与平面
所成角的正弦值．

6．（本小题满分15分）

已知
, 其中
．

（1）若展开式中含
项的系数为14, 求
的值；

（2）当
时, 求证：
必可表示成
的形式.

高 二 数 学（试卷一）参考答案

一、填空题：

1、
2、
3、
4、
5、

6、3 7、2 8、
9、
10、

二、解答题：

11、解：（1）当
时，
，
，
，
，

∴命题p是假命题．

（2）若p是真命题，则
．

若q是真命题，则
，
．

依题意
或

∴
，或
．

12、解：（1）
即为
，
，则
恒成立

由对称轴
，则必有
，

（2）由题意，即

，则显然
不成立；故
，

不等式可变形为
，不妨设
，

则当
，此时
，解集为

当
时，解集为

综上，当
，解集为
；当
时，解集为

扬大附中2013—2014学年度第一学期期中考试试题

高 二 数 学（试卷二）参考答案

1、解：

2、以A为坐标原点,
所在直线分别为
轴建立空间坐标系，设边长为1，

则
，
，则
，

易得：
，则

3、⑴
，
，
，猜想：
．

（2）①当
时，
，结论成立；

②假设当
时，结论成立，即
，

则当
时，
，

即当
时，结论也成立，由①②得，数列
的通项公式为
．

4、解：（1）设袋中原有个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为
，

由题意知
=
，即
，化简得
．

解得
或
（舍去） 故袋中原有白球的个数为6.

（2）由题意，X的可能取值为1，2，3，4.

；
；

；
.

所以取球次数X的概率分布列为：

X

1

2

3

4















 所求数学期望为E（X）=

5、解：由题意，得：

，

则
，

（1）

直线
与
所成角的余弦值是

（2） 设平面
的一个法向量为
，则
，

6、解: (1)因为
,所以
，故
项的系数为
，解得

(2)由二项式定理可知,
,

设
，而若有
，
，

则
,
∵
，

∴令
，则必有
∴
必可表示成
的形式，其中

注：用数学归纳法证明的，证明正确的也给相应的分数．