湖北省黄冈市黄冈中学2014届高二下学期期中考试

数学（文科）试题

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 复数
的虚部是( B )

A．－i B．－1 C．1 D．i

1．B原式=
，虚部为

2．使不等式
成立的条件是 （ ）

A．
B．
C．
且
D．
且

【答案】：D

【提示】：
．

3．已知
与
之间的一组数据：

x

0

1

2

3



y

1

3

5

7



则y与
的线性回归方程
必过点（ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】：D

【提示】：回归直线必过样本点中心

4. “
”是“不等式
”的( A )

A．充分不必要条件 B.充分必要条件

C．必要不充分条件 D.非充分必要条件

【答案】A

【解析】：解不等式
得
，则

，

而

.故“
”是“不等式
”的充分不必要条件.

5．曲线
在点（0,1）处的切线方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

5.A【解析】
，斜率k＝
＝3，所以，y－1＝3x，即
.

6．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：

①“若a，b∈R，则a－b＝0?a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0?a＝b”；

②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d?a＝c，b＝d”；

③“若a，b∈R，则a－b＞0?a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＞0?a＞b”．

其中类比得到的结论正确的个数是 (　　)

A．0 B．1 C．2 D．3

6.C 解析：①②是正确的，③是错误的，因为复数不能比较大小，如a＝5＋6i，b＝4＋6i，虽然满足a－b＝1＞0，但复数a与b不能比较大小．

7．方程
在
内根的个数有（ ）

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

答案：B.令
，则
，故
在
上为减函数，又
，
，故
在
内有1个根.

8．如图为函数
的图象，
为函数
的导函数，则不等式
的解集为（ ）

A．
B．

C．
D．

【解析】当

时，
，则
，故
是解集的一部分；同理
也是解集的一部分.故选D.

9．已知a，b，c是正实数，且
，则
的最大值为(　　)．

A．
B．
C．1 D．

【答案】A

【解析】∵
,∴

10、椭圆
和圆
（其中c为椭圆半焦距)有四个不同的交点，则椭圆离心率的范围是： ( A )

10、A 要有四个交点只须bb，∴a2=c2+b2<5c2，

∵b2<4(a-c)2 ∴a2-c2<4(a-c)2，∴a+c<4(a-c),∴5c<3a，∴e<3/5。

二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分，将正确答案填在答题卡相应的位置上)

11．已知
为实数，
为虚数单位，
，则
．

【提示】：
．

12.命题“
，则
且
”的逆否命题是　　　　　　 　　 　.

若
，或
，则

13．椭圆
的一个焦点是
，那么
的值为 ．

解析：
∵椭圆的方程可化为
，且焦点为
，∴
，

由
得
．

14．函数
在
时有极值
,那么
的值为________

答案：
.
，
解得
.

15． 若不等式
的解集为
，则实数
的值为___________.

15.． 【解析】
，上式等价于

∴
，解得

16. 当
时，
恒成立，则实数
的取值范围是____________．

【答案】：

【提示】：（1）当
时，不等式恒成立；（2）当
时，
，即

在
上恒成立，令
则
故函

数在
上是减函数，故
同理：
，故

17．观察下列等式：

①
;

②
;

③
;

④
;

⑤
.

可以推测，
= .

【答案】发现规律，
，
，等式右侧的系数之和为1解得

，所以
。

三、解答题(本大题共5小题，共65分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

18.（本小题满分12分）设函数
.

（1）解不等式：
；

（2）求函数
的最小值.

答案：（1）不等式的解集是

（2）

19．（本小题满分12分）已知四边形
中，
，
为
的中点；现将
沿对角线
折起，使点
在平面
上的射影
落在
上.

（1）求证：
；

（2）求三棱锥
的体积.

19．解：（1）证明：
…………5分

(2).

…………10分

…………12分

20.(本小题满分13分)

现对某市工薪阶层关于“楼市限购政策”的态度进行调查，随机抽查了50人，他们月收入（单位：百元）的频数分布及对“楼市限购政策”赞成人数如下表：

月收入（单位百元）

[15,25

[25，35

[35，45

[45，55

[55，65

[65,75



频数

5

10

15

10

5

5



赞成人数

4

8

12

5

2

1





（Ⅰ）根据以上统计数据填写下面2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为月收入以5500元为分界点对“楼市限购政策” 的态度有差异？

月收入不低于55百元的人数

月收入低于55百元的人数

合计



赞成









不赞成









合计











（Ⅱ)若从月收入在[55，65）的被调查对象中随机选取两人进行调查，求至少有一人不赞成“楼市限购政策”的概率.

（参考公式：
，其中
.）

参考值表：

P(
)

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001





0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828





20. 解:（Ⅰ）根据题目得2×2列联表：

月收入不低于55百元人数

月收入低于55百元人数

合计



赞成





32



不赞成





18



合计

10

40

50



…………………………………………………………………………………………4分

假设月收入以5500为分界点对“楼市限购政策” 的态度没有差异，根据列联表中的数据，得到：

………………………………………6分

假设不成立.

所以没有99%的把握认为月收入以5500元为分界点对“楼市限购政策”的态度有差异……8分

（Ⅱ）设此组五人为
,其中
表示赞同者，
表示不赞同者

从中选取两人的所有情形为：

其中至少一人赞同的有7种，故所求概率为
……………………………………12分

21．（本小题满分14分）已知函数
．

（1）设a＞0，若函数
在区间
上存在极值，求实数a的取值范围；

（2）如果当x
1时，不等式
恒成立，求实数k的取值范围．

21．解：（1）因为
，则
…………………1分

当
时，
；当
时，
．

所以
在
上单调递增，在
上单调递减．

所以
在
处取得极大值．…………………3分

因为
在区间
（其中
）上存在极值，

所以
，解得
．…………………6分

（2）不等式
，即
．

设
，则
． 令
，则
．

因为
，所以
，则
在
上单调递增．…………………9分

所以
得最小值为
，从而
，

故
在
上单调递增，所以
得最小值为
，

所以
，解得
．…………………12分

22. （本小题满分14分）已知抛物线
的顶点是椭圆
的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合.

(1)求抛物线
的方程;

(2)已知动直线
过点
,交抛物线
于
、
两点.

若直线
的斜率为1,求
的长;

是否存在垂直于
轴的直线
被以
为直径的圆
所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出
的方程；如果不存在，说明理由.

22. 解：解:(1)由题意,可设抛物线方程为
. …………1分

由
,得
. …………2分

抛物线的焦点为
,
. …………3分

抛物线D的方程为
. …………4分

(2)设
,
. …………5分

直线
的方程为：
, …………6分

联立
,整理得:
…………7分

=

.…………9分

(ⅱ) 设存在直线
满足题意,则圆心
,过
作直线
的垂线,垂足为
,设直线
与圆
的一个交点为
.可得: …………10分

…………11分

即
=

=

=
=
…………13分

当
时,