九江一中2012-2013学年下学期期中考试高二数学试卷

满分:150分 考试时间:120分钟 审题人:高二备课组

一、选择题（每小题5分，共50分）

1.已知
是虚数单位，则复数
所对应的点落在 (　 )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知
为等差数列，其公差为-2，且
的等比中项，
为
的前
项和，则
的值为 (　　)

A．-110 B．-90 C．90 D．110

3．已知实数
构成一个等比数列，则圆锥曲线
的离心率为 ( )

A.
B.
C.
或
D.
或7

4.已知二次函数
在
处的导数值为1,该函数的最大值为 (　 )

A．
B．
C．
D．

5．由1,2,3,4,5组成没有重复数字且2与5不相邻的四位数的个数是 (　　)

A． 48 B．60 C．84 D．120

6．若
，直线
与直线
互相垂直，则
的最小值 ( )

A．1 B．2 C．
D．

7．已知命题：若数列
为等差数列，且
则
；现已知等比数列

，
，
若类比上述结论，则可得到
＝ (　　)

A.
B.
C.
D.

8．从1,3,5,7中任取2个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有 (　　)

A．228个 B．252个 C．300个 D．324个

9．已知抛物线
的焦点F恰为双曲线
（a>0,b>0）的右焦点，且两曲线的交点连线过点F，则双曲线的离心率为 (　　)

A．
B．
＋1 C．2 D．2＋

10．已知定义域为D的函数f(x)，如果对任意
，存在正数
，都有

成立，那么称函数
是
上的“倍约束函数”，已知下列函数：

①
；②
；③
；④
，

其中是“倍约束函数”的个数是(　　)

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题（每小题5分，共25分）

11．
的展开式中常数项是_____．

12．由抛物线
与直线
及
轴所围成的图形绕
轴旋转一周所得旋转体的体__．

13．已知实数
满足条件
，
为虚数单位），则
的最小值是_____．

14．如果
，那么

=_____.

15．下列命题：

①若
存在导函数，则
；

②若函数
，则
；

③若函数
，则
；

④若三次函数
，则“
”是“f(x)有极值点”的充要条件;

⑤函数
的单调递增区间是
．

其中真命题为________．(填序号)

三、解答题（本大题共6小题，共75分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

16．已知函数
在点
处取得极值
.

(1)求
的值；

(2)若
有极大值28，求
在[－3,3]上的最小值．

17．正数数列
中，
.

(1)求
；

(2)猜想
的表达式并证明．

18． 已知函数
.

(1)若曲线
在点
处的切线与直线
垂直，求函数
的单调区间；

(2)若对于
都有
成立，试求
的取值范围；

(3)记
.当
时，函数
在区间
上有两个零点，求实数
的取值范围.

19．等比数列
的前
项和为
，已知对任意的
，点
均在函数

的图象上．

(1)求
的值；

(2)当
时，记
，

证明：对任意的
，不等式
成立．

20．已知双曲线
满足：实轴长为
，离心率为
.

（1）求曲线
的方程;

（2）设斜率为1的直线
交
于
两点，若
与圆
相切，求证：
.

（3）设椭圆
. 若
分别是
、
上的动点，且
，

求证：
到直线
的距离是定值.

21.已知函数
，其中
.

（1）求
的单调区间；

（2）求证：
.

九江一中2012-2013学年下学期期中考试高二数学试卷

参 考 答 案

一．选择题（每小题5分，共50分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

D

C

B

C

B

A

C

B

C





二．填空题（每小题5分，共25分）

11．
12．
13.
14. 1 15. ③⑤

三．解答题（本大题共6小题，共75分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

16．(1)因f(x)＝ax3＋bx＋c，故f′(x)＝3ax2＋b，

由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16，

故有即化简得

解得a＝1，b＝－12.

(2) 由(1)知f(x)＝x3－12x＋c；

f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)．

令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.

当x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；

当x∈(－2,2)时，f′(x)<0，故f(x)在(－2,2)上为减函数；

当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(2，＋∞)上为增函数．

由此可知f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，f(x)在x1＝2处取得极小值f(2)＝c－16.

由题设条件知16＋c＝28得c＝12.

此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝－16＋c＝－4，

因此f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4.

17. (1)∵Sn＝，∴a1＝，解得a1＝1

由a1＋a2＝得a1＋a2＝得a2＝－1.

由a1＋a2＋a3＝得a3＝－，∴a1＝1，a2＝－1，a3＝－.

(2)猜想：an＝－.

证明：①n＝1时显然正确；②设n＝k时成立，即ak＝－，

则n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk

＝?ak＋12＋2ak＋1－1＝0，

解得ak＋1＝－(取正值)．即n＝k＋1时命题也成立．

由①②知命题对任意n∈N＋都成立．

18. (1) 直线
的斜率为1.

因为
，所以
，所以
.

所以
.
.

由
解得
；由
解得
.

所以
的单调增区间是
,单调减区间是
.

(2)
，由
解得
；由
解得
.

所以
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减.

所以当
时，函数
取得最小值，
.

因为对于
都有
成立，所以
即可.

则
. 由
解得
.所以
的取值范围是
.

(3)依题得
，则
.

由
解得
；由
解得
.

所以函数
在区间
为减函数，在区间
为增函数.

又因为函数
在区间
上有两个零点，所以

解得
.所以
的取值范围是
.

19．(1)解　因为对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常

数)的图象上．所以得Sn＝bn＋r，

当n＝1时，a1＝S1＝b＋r，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝bn＋r－(bn－1＋r)＝bn－bn－1＝(b－1)bn－1，

又因为{an}为等比数列，所以r＝－1，公比为b，所以an＝(b－1)bn－1.

(2)证明　当b＝2时，an＝(b－1)bn－1＝2n－1，

bn＝2(log2an＋1)＝2(log22n－1＋1)＝2n.则＝，

所以··…·＝···…·.

下面用数学归纳法证明不等式

··…·＝···…·＞成立．

①当n＝1时，左边＝，右边＝，因为＞，所以不等式成立．

②假设当n＝k(k∈N*)时不等式成立，

即··…·＝···…·＞成立．

则当n＝k＋1时，

左边＝··…··＝···…··

＞·＝＝ 

＝ ＞.

所以当n＝k＋1时，不等式也成立．

由①②可得不等式恒成立．

20．[解]（1）双曲线
.

（2）设直线PQ的方程是
.因直线与已知圆相切，

故
，即
. 由
，得
.

设P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则
.

所以

，

故OP⊥OQ.

（3）当直线ON垂直于x轴时，

|ON|=1，|OM|=
，则O到直线MN的距离为
.

当直线ON不垂直于x轴时，

设直线ON的方程为
（显然
），则直线OM的方程为
.

由
，得
，所以
.

同理
.

设O到直线MN的距离为d，因为

所以
，即d=
.综上，O到直线MN的距离是定值.

21．（1）

若
，则
的增区间是：
，

减区间是：
和

若
，则
的减区间是
，无增区间

若
，则
的增区间：
，减区间是

若
，
的减区间是
，增区间是

（2）由（1）知：当
时，
，即

即：
恒成立，

，当且仅当
时取“=”

转化为证明：
用数学归纳法证明如下：

当
时，左端
右端成立，

假设当
时，有
成立

则当
时，

对
均成立

即有：
恒成立.