天水一中2011级2012-2013学年度第二学期第一学段考试

数学试题(理)

命题：武笎 审核蔡恒录

一、选择题（本题满分60分，每小题5分）

1.
为虚数单位，复数
的虚部是( )

A．
B．
C．
D .

2．若有直线
．
和平面
．
，下列四个命题中，正确的是( )

A．若
，
，则

B．若
，
，
，
则

C．若
，
，则

D．若
，
，
，则

3．6男2女排成一排,其中两名女生相邻且与男生甲不相邻的排法种数有（ ）

A．
B．
C．
D．

4．正态总体的概率密度函数为
，则总体的平均数和标准差分别为（　 ）

Ａ．0，8 B．0，4 Ｃ．0，2 Ｄ．0，

5. 某程序的框图如图所示，执行该程序， 若输入的
值为5，则输出的
值为( )

Ａ.
B.
C.
D.

6．现有5种不同颜色的染料,要对如图中的四个不同区域进行着色,要求有公共边的两块区域不能使用同一种颜色,则不同的着色方法的种数是（ ）．

A．120 B．140 C．240 D．260

7. 已知数列
中，
，
，
，那么数列
的前
项和等于（ ）

A．
B．
C．
D．

8．
展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是（ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知
之间的一组数据，

０

１

２

３





１

３

５

７



则
的线性回归方程必定过点（ ）

A．（2，2） B．（1.5，0） C．（1，2） D．（1.5，4）

10．函数
的图象为（　 　）

11.若三棱锥的三视图如右图所示,则该三棱锥的体积为( ).

A.
B.
C.
D.

12. 抛物线
（
＞
）的焦点为
，已知点
，
为抛物线上的两个动点，且满足
.过弦
的中点
作抛物线准线的垂线
，垂足为
，则
的最大值为（ ）

A.
B. 1 C.
D. 2

二、填空题（本题满分20分，每小题5分）

13．已知
,那么
等于 .

14.已知函数
（
）的最小正周期为
则
= .

15.一个频率分布表（样本容量为50）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20，60)上的频率为0.6，则估计样本在「40，50)，［50，60)内的数据个数之和是 ．

16.已知随机变量X服从正态分布N
且

则
　　 　.

三、解答题

17.（本小题共10分）在△
中，三个内角
，
，
的对边分别为
，
，
，且
．

（1）求角
；

（2）若
，求
的最大值．

18．（本题满分12分）某商场在七月初七举行抽奖促销活动，要求一男一女参加抽奖，抽奖规则是:从装有3个白球和2个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回. 若1人摸出一个红球得奖金10元，1人摸出2个红球得奖金50元. 规定:一对男女中男的摸一次，女的摸二次.令
表示两人所得奖金总额.

（1）求
的分布列;

（2）求
的数学期望.

19.（本题满分12分）已知函数
．

（1）求曲线
在点
处的切线方程；

（2）直线
为曲线
的切线，且经过原点，求直线
的方程及切点坐标．

20.（本题满分12分）如图，已知
是直角梯形，且
，平面
平面
，
，

，
，
是
的中点．（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求平面
与平面
所成锐二面角大小的余弦值．

21.（本题满分12分） 已知
是公差不为零的等差数列，
，且
成等比数列，

（1）求数列
的通项

（2）令
，求数列
的前
项和

22.（本小题满分12分）如图，已知椭圆
的离心率为
，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点
为顶点的三角形的周长为
.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设
为该双曲线上异于顶点的任一点，直线
和
与椭圆的交点分别为
和
.

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程

（Ⅱ）设直线
、
的斜率分别为
、
，证明
；

（Ⅲ）是否存在常数
，使得
恒成立？若存在，求
的值；若不存在，请说明理由.

数学（理科）参考答案

一选择题

ADCCC DCADD DA

二、填空题

13、-2 14、 2 15、21 16、 0.1

三、解答题

17、（1）
（2）
，当且仅当
时，
取得最大值
.

18、

0

10

20

50

60





P














=16.8

19、（1）切线的方程为
；

（2）直线
的方程为
，切点坐标为
．

20、(2) 平面
与平面
所成锐二面角大小的余弦值为

21、（1）

（2）

22、(1) 椭圆的标准方程为
,双曲线的标准方程为

(3) （Ⅱ）设点P（
，
），则
=
，
=
，所以


=

，又点P（
，
）在双曲线上，所以有
，即
，所以

=1。

（Ⅲ）假设存在常数
，使得
恒成立，则由（Ⅱ）知
，所以设直线AB的方程为
，则直线CD的方程为
，

由方程组
消y得：
，设
，
，

则由韦达定理得：

所以|AB|=
=
，同理可得

|CD|=
=
=
，

又因为
，所以有
=
+

=
，所以存在常数

，使得
恒成立。