数学

命题人：刘春雷

一、选择题（每小题4分，共48分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）

已知变量a，b已被赋值，要交换a、b的值，采用的算法是（ ）

A．a=b, b=a B．a=c, b=a, c=b C．a=c, b=a, c=a D．c=a, a=b, b=c

“
”是方程“
”表示双曲线的( 　 )

A.必要不充分条件 B.充分不必要条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是（ 　 ）

A．
B．

C．
D．

如图，在平行六面体
中，底面是边长为1的正

方形，若
，且
，则
的长为

A．
B．
C．
D．

若
，则
的值为（ 　 ）

A.
B．
C．
D．

高二年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：（ 　 ）

A.
B.
C.
D.

10件产品，其中3件是次品，任取两件，若
表示取到次品的个数，则
等于（　　 ）

A．
B．
C．
D．1

从6个正方形拼成的12个顶点(如图)中任取3个顶点作为一组，其中可以构成三角形的组数为 ( 　　 )

A．208 B．204 C．200 D．196

20名学生，任意分成甲、乙两组，每组10人，其中2名学生干部恰好被分在不同组内的概率是 （ 　 ）

A．
B．
C．
D．

空间6个点，任意四点都不共面，过其中任意两点均有一条直线，则成为异面直线的对数为 （ 　 ）

A．15 B．30 C．45 D．60

一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个正方体其两面涂有油漆的概率是（ 　 ）

A．
B．
C．
D．

椭圆
的右焦点
，其右准线与
轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点
，则椭圆离心率的取值范围是（ 　 ）

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题（每题4分，共28分.把答案填在答题纸的横线上）

设
，则关于
在
上有两个不同的零点的概率为______________.

已知数据
的平均数
，方差
则数据
的标准差为 。

从1，2，3，…，20这20个自然数中，每次任取3个数，若其和是大于10的偶数，则这样的数组有 　 个。

已知椭圆C：
（a>b>0）的离心率为
，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线于C相交于A、B两点，若
。则
。

12. 二进制数10000001001转化为八进制数是 .

13. 右图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图，其中分组区间为
.则由直方图可估计该城市居民月均用水量的众数是 ，中位数是 .

14. 某赛季甲，乙两名篮球运动员每场比赛得分情况用茎叶图表示如图：

根据以上茎叶图，下列说法中正确的有 .

①甲得分的中位数为26,乙得分的中位数为36； ②甲与乙比较，甲的稳定性更好；

③乙有
的叶集中在茎3上； ④甲有
的叶集中在茎1、2、3上.

三、解答题：（本题有6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤）

把各题的解答过程写在答题纸上

(本题满分12分)从4名男生,3名女生中选出三名代表,( 1)不同的选法共有多少种?(2)至少有一名女生的不同的选法共有多少种?(3)代表中男、女生都有的不同的选法共有多少种?

(本题满分12分)已知
的展开式的各项系数之和等于
展开式中的常数项，求
展开式中含
的项的二项式系数.

(本题满分12分)某电视生产厂家今年推出A、B、C、D四种款式电视机，每种款式电视机的外观均有黑色、银白色两种。四月份的电视机产量如下表（单位：台）

款式A

款式B

款式C

款式D



黑色

150

200

200





银白色

160

180

200

150



若按电视机的款式采取分层抽样的方法在这个月生产的电视机中抽取70台，其中有C种款式的电视机20台。

求
的值；

若在C款式电视机中按颜色进行分层抽样抽取一个容量为6的样本，然后将该样本看成一个总体，从中任取2台，求恰有1台黑色、1台银白色电视的概率；

用简单随机抽样的方法从A种款式电视机中抽取10台，对其进行检测，它们的得分如下：94，92，92，96，97，95，98，90，94，97。如果把这10台电视机的得分看作一个样本，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过2的概率。

(本题满分12分)某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校学生会的干部竞选．

（1）设所选3人中女生人数为
，求
的分布列及数学期望；

（2）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．

(本题满分12分)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下落.小球在下落过程中,将3次遇到黑色障碍物,最后落入
袋或
袋中.已知小球每次遇到黑色障碍物时向左、右两边下落的概率都是.

（Ⅰ）求小球落入
袋中的概率
;

（Ⅱ）在容器入口处依次放入4个小球,记
为落入
袋中小球的个数,试求
的概率和
的数学期望
.

(本题满分14分)如图，已知椭圆
焦点为
，双曲线
，设
是双曲线
上异于顶点的任一点，直线
与椭圆的交点分别为
和
。

设直线
的斜率分别为
和
，求
的值；

是否存在常数
，使得
恒成立？若存在，试求出
的值；若不存在，请说明理由。



高二年级数学试卷答案

20解：（1）即从7名学生中选出三名代表，共有选法
种；………………3分

（2）至少有一名女生的不同选法共有
种；……………6分

（3）男、女生都要有的不同的选法共有
种。………………10分

21解：设
的展开式的通项为

.………………………………4分

若它为常数项,则
,代入上式
.

即常数项是27，从而可得
中n=7，　　…………………8分

同理
由二项展开式的通项公式知，含
的项是第4项，

其二项式系数是35.……………………………………………………12分

22解：（1）设该厂本月生产电视机共n台，由题意得

所以

所以
的值为160。

（2）在C款式电视机中按颜色进行分层抽样抽取一个容量为6的样本，所以抽取了3台黑色电视机、3台银白色电视机，从中任取两台，取法总数为
种

取一黑一白的取法为
种，

所以恰有1台黑色、、一台银白色电视机的概率为
。

（3）样本平均数为

那么与样本平均数之差的绝对值不超过2的数为94,96,95,94，

所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过2的概率为
。

23（1）解：
的所有可能取值为0，1，2．…………………………1分

解法2：设“男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中”为事件
，

从4个男生、2个女生中选3人，男生甲被选中的种数为
，…………………………8分

男生甲被选中，女生乙也被选中的种数为
，………………………………10分

∴
．

故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为
．………………………12分

24解: （Ⅰ）解法一：记小球落入
袋中的概率
，则
，

由于小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入
袋，所以
‘………………………………………………………………… 2分

. ……………………………………………………………… 5分

解法二：由于小球每次遇到黑色障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时小球将落入
袋.

， ……………………………… 5分

（2）设直线

由方程组
得

设

则

由弦长公式得

同理设
，

由（1）
得，
，代入得

，则

则存在
，使得
恒成立。