数学文

命题人：柳建林 审题人：卢昕

考试时间：2013年4月26日上午8∶30～10∶30 　试卷满分150　分

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.双曲线
的焦点坐标为（ ）

A．
B．
C．
D．

2．抛物线
上一点
到焦点的距离为3，则
（ ）

A.0 B.
C.
D.

3．若椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ）

A.
B.
C.
D.

4. 函数
在
处的切线与直线
平行，则
（ ）

A.
B.
C.
D.2

5.若命题
的否命题是命题
，命题
的逆否命题是命题
，则
是
的（ ）

A.逆否命题 B.否命题 C.逆命题 D.原命题

6．函数
的定义域为开区间
，导函数
在
内 的图象如图所示，则函数
在开区间
内有极小值点( )

A.1个 B.2个 C.3个 D. 4个

7．“
”是“
表示焦点在
轴上的椭圆”的（ ）条件

A.充分而非必要 B.充要 C.必要而非充分 D.既非充分又非必要

8．已知双曲线
的实轴在
轴上且焦距为
，则双曲线的渐近线的方程为（ ）

A.
B.
C.
D.

9．已知
，函数
,则
（ ）

A.
B.
C.
D.

10．已知圆
的圆心为
，点
，
是圆上任意一点，线段
的中垂线
和直线
相交于点
，则点
的轨迹方程为（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．

11. 命题“
使
”的否定是 .

12. 曲线
在点(1,1)处的切线方程为___________

13．顶点在原点，对称轴为
轴且过点
的抛物线的标准方程是 .

14．椭圆
的焦点为
，点
在椭圆上，且线段
的中点恰好在
轴上，
，则
.

15．函数
的单调递增区间为 .

16．若椭圆
的一条弦被点
平分，则这条弦所在的直线方是 .

17．有以下命题：

①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；

②椭圆的离心率为
，则
越接近于1，椭圆越圆；
越接近于0，椭圆越扁；

③不是奇函数的函数的图像不关于原点对称；

④已知函数
的定义域为
，若
在定义域内有极大值，则
在定义域内必有最大值.

其中，错误的命题是 .（写出所有你认为错误的命题的序号）

三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（本小题满分12分）已知命题
,命题
，命题
为假，求实数
的取值范围.

20. （本小题满分13分）已知曲线
，直线l过
、
两点，原点
到
的距离是

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）过点B作直线
交双曲线于M、N两点，若
，求直线m的方程.

21．（本小题满分14分）已知函数
的图象过点P（0，2），且在点
处的切线方程为
．

(I)求函数
的解析式； (II)求函数
的单调区间．

22．（本小题满分14分） 如图，已知直线
与
轴交于点
，交抛物线
于
两点，坐标原点
是
的中点，记直线
的斜率分别为
.

（Ⅰ）若
为抛物线的焦点，求
的值，并确定抛物线的准线与以
为直径的圆的位置关系.

（Ⅱ）试证明：
为定值.

武昌区高中二片学校高二年级期中联考

数学（文科）参考答案

三、解答题：

18. 解: 若
为真，则
恒成立，
……………(3分)

若
为真，则
，
………………(6分)

为假，
都为假命题 ………………………………（9分）

得
………………………………………（12分）

19. 解: （Ⅰ）依题意得
……………(2分)

若
有极值，则
，
……………(5分)

（Ⅱ）
得
，因为函数
在
处取得了极大值，故
是
的一个实根，故

………………（8分）

所以函数
在
，
在
处取得极大值； ……………………………………（10分）

………………………………………（12分）

消去y，得
①………………………………………………… (9分)

依设，
由根与系数关系，知

=
=
=
……………………(11分)

∴
=－23，k=±
………………………………………………… (12分)

当k=±
时，方程①有两个不等的实数根

故直线l方程为
……………………………………… (13分)

…………………………(10分)

令
解得

















0



0







↗

极大值

↘

极小值

↗





…………………… (12分)

故
上是增函数，在
上是减函数，

在
上是增函数．…………………………………………………… (14分)

22. 解: 解: （Ⅰ）由直线
得点
,故
…………(2分)

设交点
，它们的中点
，设点
到抛物线

的准线的距离为
，则
， ……………(4分)

，所以抛物线的准线与以
为直径的圆相切. ………………(6分)