第Ⅰ卷 （选择题 共60分）

一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）

1. 若命题“
”为假，且“”为真，则（ ）

A．或为假 B．假 C．真 D．不能判断的真假

2. 已知椭圆
上的一点到椭圆一个焦点的距离为
，则到另一焦点距离为

A． B．
C．
D．

3.下列函数中，在
内为增函数的是（ ）

A.
B.
C.
D.

4. 在
中，
，则
为（ 　　 ）

A．直角三角形 B．等腰三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形

5. 若抛物线
上一点到其焦点的距离为
，则点的坐标为（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为 （ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

7. 若点的坐标为
，是抛物线
的焦点，点
在抛物线上移动时，使
取得最小值的
的坐标为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．已知
则
的最小值为（　　　　）

A. B. C.
D.

9. 过双曲线的一个焦点
作垂直于实轴的弦
，
是另一焦点，若∠
，则双曲线的离心率等于（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 空间四边形
中，
，
，则
<
>的值是（ ）

A．
B．
C．－
D．

11.若直线
与双曲线
的右支交于不同的两点，那么
的取值范围是（ ）

A．（
） B．（
） C．（
） D．（
）

12.从双曲线
的左焦点引圆
的切线，

切点为，延长
交双曲线右支于点，若
为线段
的中点，

为坐标原点，则
与
的大小关系为（ ）

A．
　　 B.

C．
　　D.不确定

第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）

二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．椭圆
的一个焦点是
，那么
.

14.在△ABC中，D为BC边上一点，
,
,
.若
,则BD=___　　__

15.在下列函数中: ①
；②
；③
；

④
；⑤
其中
且
；⑥
.其中最小值为2的函数是　　　　　　（填入序号）.

16．对于抛物线
上任意一点
，点
都满足
，则的取值范围是____ ．

三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤）

17、（本小题满分10分）

已知
在区间
上最大值是5，最小值是－11，求
的解析式.

18．（本题满分12分）

如图，正方体
棱长为1，是
的中点，是
的中点.

（1）求证：
；

（2）求二面角
的余弦值.

19．（本题满分12分）

已知A，B分别是直线y＝x和y＝－x上的两个动点，线段AB的长为2错误！未找到引用源。，D是AB的中点．

（1）求动点D的轨迹C的方程；

（2）若过点(1,0)的直线l与曲线C交于不同两点P、Q，当|PQ|＝3时，求直线l的方程。

20．（本题满分12分）已知函数
，且
在
和
处取得极值.

（1）求函数
的解析式.

（2）设函数
，是否存在实数，使得曲线
与轴有两个交点，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

21．（本小题满分12分）

已知公差大于零的等差数列
，前项和为
.且满足

.

（Ⅰ）求数列
的通项公式;

22．（本题满分12分）

已知椭圆
的离心率为
，

轴被抛物线
截得的线段长等于
的长半轴长.

（1）求
的方程；

（2）设
与轴的交点为
，过坐标原点
的直线

与
相交于
两点，直线
分别与
相交于
.

①证明：
为定值;

②记
的面积为
，试把
表示成
的函数，并求
的最大值.

高二期末考试数学试题（理）参考答案

二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．. 14.2＋
　　　15.①③④⑥　15．

三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤）

若
,

因此
必为最大值,∴
,得
,

∵
,
∴

∴
,∴

∴

若
,同理可得
为最小值, ∴
,得
,

∵
,
,∴
∴
,∴

∴

18．（本题满分12分）

（2）解：设平面ADE的法向量为
，
，

则
即
从而

由（1）知
的法向量为

二面角
的余弦值为
.

19．（本题满分12分）解:　(1)设D(x，y)，A(a，a)，B(b，－b),

∵ D是AB的中点， ∴x＝错误！未找到引用源。，y＝错误！未找到引用源。，∵ |AB|＝2错误！未找到引用源。，∴(a－b)2＋(a＋b)2＝12，

∴(2y)2＋(2x)2＝12，∴点D的轨迹C的方程为x2＋y2＝3. ………………………6分

(2) 当直线l与x轴垂直时，P(1，错误！未找到引用源。)，Q(1，－错误！未找到引用源。)，此时|PQ|＝2错误！未找到引用源。，不符合题意 …7分

当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，由于|PQ|＝3，所以圆心C到直线l的距离为错误！未找到引用源。，由错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。，解得k＝错误！未找到引用源。.故直线l的方程为y＝错误！未找到引用源。(x－1).

………………………12分

令
得，
或
，

随着变化情况如下表所示：



1

（1，3）

3







－

0

+

0

－





递减

极小值

递增

极大值

递减



由上表可知：
极大值＝
，

又取足够大的正数时，
；

取足够小的负数时，
，

因此，为使曲线
与轴有两个交点，结合
的单调性，

得：
，

∴
或
，

即存在，且
或
时，使得曲线
与轴有两个交点.

（Ⅱ）
,则

.

当且仅当
时,
取得最大值
.

22．（本题满分12分）

解：（1）由已知
，
，
①

在
中，令
，得
②

由①②得，

(2)由
得

设
，则

而