2012-2013学年第二学期高二期中考试（理科）

时间：120分钟，分值：150分

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数
（i为虚数单位）的模是

A.
B.
C.5 D.8

2．在极坐标系中，已知点
，则过点
且平行于极轴的直线的方程是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

3．正弦函数是奇函数（大前提），
是正弦函数（小前提），因此
是奇函数（结论），以上推理（　　）

A．结论正确 B．大前提错误 C．小前提错误 D．以上都不对

4．记I为虚数集，设

，
.则下列类比所得的结论正确的是 （ ）

A．由
，类比得

B．由
，类比得

C．由
，类比得

D．由
，类比得

5．设
，则下列不等式中不成立的是（ ）

A．
B．
C．
D．

6．已知抛物线C1的参数方程为
(t为参数)，圆C2的极坐标方程为
，若斜率为1的直线经过抛物线C1的焦点，且与圆C2相切，则r＝( )

A．1 B．
C．
D．2

7．方程
的实根个数是

A.0 B.1 C.2 D.3

8．
（ ）

A．
B．
C．
D．

已知
的解集为
，则
的值为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

由曲线
，直线
以及两坐标轴所围成的图形的面积S的值为（ ）

A．2 B．
C．
D．

11．设
，若
恒成立，则k的最大值为

A．2 B．4 C．6 D．8

12．已知函数
，若对任意两个不等的正实数
都有
恒成立，则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知曲线
的参数方程是
（
为参数，
），以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程是 ．

14. 二维空间中圆的一维测度（周长）
，二维测度（面积）
，观察发现
；三维空间中球的二维测度（表面积）
，三维测度（体积）V＝
πr3，观察发现V′＝S。则四维空间中“超球”的三维测度
，猜想其四维测度W＝　　　　。

15.若实数
、
、
满足
，则称
比
远离
.若
比1远离0，则
的取值范围是 .

16.已知
为复数，
为虚数单位，
为纯虚数，
，且
，则复数

.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分）

已知
为复数，
和
都是实数，其中
为虚数单位。

（1）求复数
；

（2）若复数
在复平面上对应的点在第一象限，求实数
的取值范围。

18.(本题满分12分)

请观察以下三个式子:①
；②
；

③
。

归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明之.

(本题满分12分)

设函数
。

当
时，求不等式
的解集；

若
对
恒成立，求
的取值范围。

20.(本题满分12分)

已知
是函数
的一个极值点．

（1）求
的值；

（2）任意
，
时，证明：
．

21．（本小题满分12分）

以直角坐标系原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单

位．已知直线
的参数方程为
（
为参数，
）．曲线C的极

坐标方程为

．

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）设直线
与曲线C相交于A、B两点，当
变化时，求
的最小值．

22.(本题满分12分)

已知函数
．

（Ⅰ）讨论函数
的单调区间；

（Ⅱ）当
时，是否存在过点（1，－1）的直线与函数
的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．

答 案

1-5：AACCB 6-10：CBACC 11-12：DD

13.
14.
15.
16.

17. 已知
为复数，
和
都是实数，其中
为虚数单位。

（1）求复数
；

（2）若复数
在复平面上对应的点在第一象限，求实数
的取值范围。

解析：（1）因为
为实数，所以设
，

则
...............................................2分

，

因为
为实数，所以
，即
。

所以
。....................................................5分

，...............6分

因为复数
在复平面上对应的点在第一象限，

所以
，.............................................8分

所以
。.....................................................10分

18.请观察以下三个式子:①
；②
；

③
。

归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明之.

解析：
……………4分

证明：①当
，左边=3，右边=3，所以左边=右边。

②假设当
时，命题成立，

即
，

那么当
时，

，

所以当
时命题成立,由（1）、（2）知，命题成立. ………………………12分

19.设函数
。

（1）当
时，求不等式
的解集；

（2）若
对
恒成立，求
的取值范围。

解析:（1）
等价于

或
或
，

解得：
或
．

故不等式
的解集为
或
． …………………………6分

（2）因为:
（当
时等号成立）

所以
。…………………………………………………………………9分

由题意得：
， 解得
或
。 …………………12分

20. 已知
是函数
的一个极值点．

（1）求
的值；

（2）任意
，
时，证明：
．

解析：（1）
，

因为
在
处取得极值，所以
，所以
。………………………3分

经检验，
满足
在
处取得极值，

所以
。………………………………………………………………………………5分

证明：由（1）知，
，
，

令
，则
。 ……………………………………………………………7分

0

（0,1）

1

（1,2）

2







-

0

+







-2

递减

极小值

递增

0




在
处取得极小值，该极小值为
在
上的最小值，

在区间
上的最大值为0，最小值为
。 …………………………………10分

对于
，有

．

所以
，即
。 ……………………………12分

21.以直角坐标系原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单

位．已知直线
的参数方程为
（
为参数，
）．曲线C的极

坐标方程为

．

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）设直线
与曲线C相交于A、B两点，当
变化时，求
的最小值．

解析：（1）由
得到
，

所以曲线C的直角坐标方程为
。......................................5分

将直线的参数方程代入
，得到
，

设A、B两点对应的参数分别为
，则

，
，.........................................8分

所以
，........10分

当
时，|AB|的最小值为2. .......................................12分

22.已知函数
．

（1）讨论函数
的单调区间；

（2）当
时，是否存在过点（1，－1）的直线与函数
的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．

解析：（1）由题意
． ………………………………………1分

当
时，函数
的定义域为
，

，则
，
，则
，

此时函数在
上是减函数，在
上是增函数，………………………………3分

当
时，函数
的定义域为
，

，则
，
，则
，

此时函数在
上是减函数，在
上是增函数。………………………………5分

（2）假设存在这样的切线，设其中一个切点
，

∴切线方程：
，将点
坐标代入得：

，即
， ①

设
，则
．

令
，则
或
。………………………………………………………8分

（0,1）

1

（1,2）

2







+

0

-

0

+





递增

极大值

递减

极小值

递增



所以
在区间
，
上是增函数，在区间
上是减函数，

在
处取得极大值
，在
处取得极小值
，

所以
在
上恒成立，即
在
上无解。

因为
，
，
在区间
上单调递增，根据零点定理，
在区间
上有且仅有一个实数根，即方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条．……………………………………………12分